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125分数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−1a_1=-1，a3=5a_3=5，则 S6=‾S_6=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 12 题 · 填空题

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15数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 满足 a2a4a5=a3a6a_2a_4a_5=a_3a_6，a9a10=−8a_9a_{10}=-8，则 a7=a_7=______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 2S3=3S2+62S_3=3S_2+6，则公差 d=‾d=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若 a1=−2a_1=-2，a2+a6=2a_2+a_6=2，则 S10=‾S_{10}=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
中位数为 10101010 的一组数构成等差数列，其末项为 20152015，则该数列的首项为______.

2015 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
中位数为 10101010 的一组数构成等差数列，其末项为 20152015，则该数列的首项为______.

2015 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
观察下列等式：
1−12=12\displaystyle 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}；1−12+13−14=13+14\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}；1−12+13−14+15−16=14+15+16\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}，⋯\cdots
据此规律，第 nn 个等式可为______.

2015 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，若 f1(x)=f(x)f_1(x) = f(x)，fn+1(x)=f(fn(x))f_{n+1}(x) = f(f_n(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_+，则 f2014(x)f_{2014}(x) 的表达式为______. \begin{answer} x2014x+1\frac{x}{2014x+1} \end{answer} \begin{solution} 先证明 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}. 由于 x⩾0x\geqslant0 且 n∈N+n\in\mathbf N_+，有 1+nx>01+nx>0，所以各步分式均有意义. 当 n=1n=1 时，f1(x)=f(x)=x1+xf_1(x)=f(x)=\frac{x}{1+x}，结论成立. 若 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}，则
fn+1(x)=f(x1+nx)=x1+nx1+x1+nx=x1+(n+1)xf_{n+1}(x)=f\left(\frac{x}{1+nx}\right) =\frac{\frac{x}{1+nx}}{1+\frac{x}{1+nx}} =\frac{x}{1+(n+1)x}
由数学归纳法，fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx} 对一切 n∈N+n\in\mathbf N_+ 成立. 因此
f2014(x)=x1+2014x=x2014x+1f_{2014}(x)=\frac{x}{1+2014x}=\frac{x}{2014x+1}
\end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
观察下列等式：12=11^2=1；12−22=−31^2-2^2=-3；12−22+32=61^2-2^2+3^2=6；12−22+32−42=−101^2-2^2+3^2-4^2=-10. 照此规律，第 nn 个等式可为______.
\begin{answer} 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2} \end{answer}
\begin{solution} 记左端前 nn 项的和为 Sn=∑k=1n(−1)k−1k2S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}k^2. 当 n=1n=1 时，S1=1=(−1)01⋅22S_1=1=(-1)^0\dfrac{1\cdot2}{2}. 假设 Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}{2}，则 Sn+1=Sn+(−1)n(n+1)2=(−1)n[−n(n+1)2+(n+1)2]=(−1)n(n+1)(n+2)2S_{n+1}=S_n+(-1)^n(n+1)^2=(-1)^n\left[-\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)^2\right]=(-1)^n\dfrac{(n+1)(n+2)}2. 由数学归纳法，Sn=(−1)n−1n(n+1)2S_n=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2，故所填等式为 12−22+32−⋯+(−1)n−1n2=(−1)n−1n(n+1)21^2-2^2+3^2-\cdots+(-1)^{n-1}n^2=(-1)^{n-1}\dfrac{n(n+1)}2. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
观察下列等式：1+1=2×11 + 1 = 2 \times 1，(2+1)(2+2)=22×1×3(2 + 1)(2 + 2) = 2^{2} \times 1 \times 3，(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 2^{3} \times 1 \times 3 \times 5.
照此规律，第 nn 个等式可为______.

2013 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
观察下列不等式：1+122<321 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}，1+122+132<531 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}，1+122+132+142<741 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}，照此规律，第五个不等式为______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
观察下列不等式：1+122<321 + \frac{1}{2^2} < \frac{3}{2}，1+122+132<531 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} < \frac{5}{3}，1+122+132+142<741 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} < \frac{7}{4}. 照此规律，第五个不等式为______.

2012 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
观察下列等式 1=11 = 1，2+3+4=92 + 3 + 4 = 9，3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25，4+5+6+7+8+9+10=494 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49. 照此规律，第 nn 个等式应为______.

2011 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
植树节某班 2020 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米10\text{ 米}，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______米\text{米}.

2011 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
观察下列等式 1=11 = 1，2+3+4=92 + 3 + 4 = 9，3+4+5+6+7=253 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25，4+5+6+7+8+9+10=494 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49，…\dots. 照此规律，第五个等式应为______.

2011 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
观察下列等式：13+23=321^3 + 2^3 = 3^2，13+23+33=621^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2，13+23+33+43=1021^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2，⋯\cdots，根据上述规律，第五个等式为______.

2010 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
观察下列等式：13+23=321^{3} + 2^{3} = 3^{2}，13+23+33=621^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 6^{2}，13+23+33+43=1021^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 10^{2}，⋯\cdots，根据上述规律，第四个等式为______.

2010 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 a6=S3=12a_{6} = S_{3} = 12，则 lim⁡n→∞Snn2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{S_n}{n^2} =______

2009 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 a6=S3=12a_{6} = S_{3} = 12，则 {an}\{a_{n}\} 的通项 an=‾a_{n} =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 陕西 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13数列★☆☆☆☆
lim⁡n→∞(1+a)n+1n+a=2\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{(1 + a)n + 1}{n + a} = 2，则 a=a =______.

2008 · 陕西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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