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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 4Sn=3an+44S_n=3a_n+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=(−1)n−1nanb_n=\left( -1 \right)^{n-1}na_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 2Sn=3an+1−32S_n=3a_{n+1}-3.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a2=11a_2=11，S10=40S_{10}=40.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 nn 项和 TnT_n.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列 {an}\{a_n\} 的首项为 a1a_1，公差为 dd，则 a2=a1+d=11a_2=a_1+d=11. 又因为 S10=102(2a1+9d)=40S_{10}=\dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=40，所以 2a1+9d=82a_1+9d=8. 联立得 a1=13a_1=13，d=−2d=-2，从而 an=a1+(n−1)d=13−2(n−1)=15−2na_n=a_1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n. \item 当 1≤n≤71\le n\le7 时，an=15−2n>0a_n=15-2n>0，所以 Tn=∑k=1n(15−2k)=n(14−n)T_n=\sum_{k=1}^n(15-2k)=n(14-n).
当 n≥8n\ge8 时，a1a_1，…\ldots，a7a_7 为正数，且 ak<0a_k<0（k≥8k\ge8），因此 Tn=∑k=17(15−2k)+∑k=8n(2k−15)=49+(n−7)2T_n=\sum_{k=1}^7(15-2k)+\sum_{k=8}^n(2k-15)=49+(n-7)^2. 综上，
Tn={n(14−n),1≤n≤7,49+(n−7)2,n≥8.T_n=\begin{cases} n(14-n),&1\le n\le7,\\ 49+(n-7)^2,&n\ge8. \end{cases}
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1=1a_1=1，b1=0b_1=0，4an+1=3an−bn+44a_{n+1}=3a_n-b_n+4，4bn+1=3bn−an−44b_{n+1}=3b_n-a_n-4.
(1) 证明：{an+bn}\{a_n+b_n\} 是等比数列，{an−bn}\{a_n-b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17数列★★☆☆☆
记 SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，已知 a1=−7a_1=-7，S3=−15S_3=-15.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 求 SnS_n，并求 SnS_n 的最小值.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=xf′(x)g(x) = xf'(x)，x⩾0x \geqslant 0，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 令 g1(x)=g(x)g_{1}(x) = g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))g_{n + 1}(x) = g(g_{n}(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，求 gn(x)g_{n}(x) 的表达式. (2) 若 f(x)⩾αg(x)f(x) \geqslant \alpha g(x) 恒成立，求实数 α\alpha 的取值范围. (3) 设 n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n)g(1) + g(2) + \cdots + g(n) 与 n−f(n)n - f(n) 的大小，并加以证明.

2014 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)； (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，且 c=2ac = 2a，求 cos⁡B\cos B 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 k>0k>0 使 a=ksin⁡Aa=k\sin A，b=ksin⁡Bb=k\sin B，c=ksin⁡Cc=k\sin C. 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b，从而 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡B\sin A+\sin C=2\sin B. 又 A+B+C=πA+B+C=\pi，故 sin⁡B=sin⁡(A+C)\sin B=\sin(A+C)，所以 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A+\sin C=2\sin(A+C).
\item 因为 aa，bb，cc 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 q>0q>0，则 b=aqb=aq，c=aq2c=aq^2. 由 c=2ac=2a 得 q2=2q^2=2，所以 b=2ab=\sqrt2a，c=2ac=2a. 在三角形 ABCABC 中对角 BB 使用余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 代入边长关系得 2a2=a2+4a2−4a2cos⁡B2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B，所以 cos⁡B=34\cos B=\frac34. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 推导 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和公式； (2) 设 q≠1q\neq1，证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 不是等比数列.

2013 · 陕西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 表示数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.
(1) 若 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，推导 SnS_{n} 的计算公式. (2) 若 a1=1a_{1} = 1，q≠0q \neq 0，且对所有正整数 nn，有 Sn=1−qn1−qS_{n} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q}，判断 {an}\{a_{n}\} 是否为等比数列，并证明你的结论.

2013 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公比不为 11 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_{n}，且 a5a_{5}，a3a_{3}，a4a_{4} 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的公比； (2) 证明：对任意 k∈N+k \in \mathbf{N}_+，Sk+2S_{k+2}，SkS_{k}，Sk+1S_{k+1} 成等差数列.

2012 · 陕西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 fn(x)=xn+bx+cf_{n}(x) = x^{n} + bx + c（n∈N+n \in \mathbf{N}_+，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}）.
(1) 设 n⩾2n \geqslant 2，b=1b = 1，c=−1c = -1，证明：fn(x)f_n(x) 在区间 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内存在唯一零点. (2) 设 n=2n = 2，若对任意 x1x_1，x2∈[−1,1]x_2 \in [-1, 1]，有 ∣f2(x1)−f2(x2)∣⩽4|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4，求 bb 的取值范围. (3) 在第（1）问的条件下，设 xnx_{n} 是 fn(x)f_{n}(x) 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内的零点，判断数列 x2x_{2}，x3x_{3}，⋯\cdots，xnx_{n}，⋯\cdots 的增减性.

2012 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比为 q=−12q = -\frac{1}{2}.
(1) 若 a3=14a_3 = \frac{1}{4}，求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和； (2) 证明：对任意 k∈N+k \in \mathbf{N}_+，aka_k，ak+2a_{k+2}，ak+1a_{k+1} 成等差数列.

2012 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_1 = 1 且 a1a_1，a3a_3，a9a_9 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 求数列 {2an}\{2^{a_n}\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2010 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_{n}\} 是公差不为零的等差数列，a1=1a_{1}=1 且 a1a_{1}，a3a_{3}，a9a_{9} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项； (2) 求数列 {2an}\{2^{a_{n}}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2010 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=12x_{1} = \frac{1}{2}，xn+1=11+xnx_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 猜想数列 {x2n}\{x_{2n}\} 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： ∣xn+1−xn∣⩽16(25)n−1\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21数列★★★☆☆
(1) 已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_1 = 1，a2=2a_2 = 2，an+2=an+an+12a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 令 bn=an+1−anb_{n} = a_{n+1} - a_{n}，证明：{bn}\{b_{n}\} 是等比数列； (2) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2009 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=35a_1 = \frac{3}{5}，an+1=3an2an+1a_{n+1} = \frac{3a_n}{2a_n + 1}，n=1n = 1，22，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对任意的 x>0x > 0，an⩾11+x−1(1+x)2(23n−x)a_{n} \geqslant \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} \left( \frac{2}{3^{n}} - x \right)，n=1n = 1，22，⋯\cdots； (3) 证明：a1+a2+⋯+an>n2n+1a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}.

2008 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=23a_1 = \frac{2}{3}，an+1=2anan+1a_{n + 1} = \frac{2a_n}{a_n + 1}，n=1n = 1，22，…\dots.
(1) 证明：数列 {1an−1}\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\} 是等比数列； (2) 数列 {nan}\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2008 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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