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16
15分
数列
★★★★☆
设数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
3
a_1 = 3
a
1
=
3
，
a
n
+
1
n
=
a
n
n
+
1
+
1
n
(
n
+
1
)
\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}
n
a
n
+
1
=
n
+
1
a
n
+
n
(
n
+
1
)
1
.
(1) 证明：
{
n
a
n
}
\{na_n\}
{
n
a
n
}
为等差数列； (2) 给定正整数
m
m
m
，设函数
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
f(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m
f
(
x
)
=
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
，求
f
′
(
−
2
)
f'(-2)
f
′
(
−
2
)
.
2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题
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19
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
为等比数列，
a
1
=
b
1
=
2
a_1=b_1=2
a
1
=
b
1
=
2
，
a
2
=
b
2
+
1
a_2=b_2+1
a
2
=
b
2
+
1
，
a
3
=
b
3
a_3=b_3
a
3
=
b
3
.
(1) 求
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
的通项； (2)
∀
n
∈
N
∗
\forall n\in\mathbf{N}^*
∀
n
∈
N
∗
，
I
=
{
0
,
1
}
I=\{0,1\}
I
=
{
0
,
1
}
，定义
T
n
=
{
p
1
a
1
b
1
+
p
2
a
2
b
2
+
⋯
+
p
n
a
n
b
n
∣
p
i
∈
I
,
i
=
1
,
…
,
n
}
T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}
T
n
=
{
p
1
a
1
b
1
+
p
2
a
2
b
2
+
⋯
+
p
n
a
n
b
n
∣
p
i
∈
I
,
i
=
1
,
…
,
n
}
.
(i) 求证：对任意
t
∈
T
n
t\in T_n
t
∈
T
n
，有
t
<
a
n
+
1
b
n
+
1
t<a_{n+1}b_{n+1}
t
<
a
n
+
1
b
n
+
1
； (ii) 求
T
n
T_n
T
n
的所有元素之和.
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