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15平面向量★★★☆☆
已知空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的点集 Ω\Omega，对任意的 P1P_1，P2P_2，P3∈ΩP_3\in \Omega，均存在不全为 00 的实数 λ1\lambda_1，λ2\lambda_2，λ3\lambda_3，使得 λ1OP1→+λ2OP2→+λ3OP3→=0\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}=\boldsymbol{0}. 若 (1,0,0)∈Ω(1,0,0)\in \Omega，则 (0,0,1)∉Ω(0,0,1)\notin \Omega 的一个充分条件是（ ）
A.
(0,0,0)∈Ω(0,0,0)\in \Omega
B.
(−1,0,0)∈Ω(-1,0,0)\in \Omega
C.
(0,−1,0)∈Ω(0,-1,0)\in \Omega
D.
(0,0,−1)∈Ω(0,0,-1)\in \Omega

2024 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 P={1,2}P=\{1,2\}，Q={2,3}Q=\{2,3\}. 若 M={x∣x∈P, x∉Q}M=\{x\mid x\in P,\ x\notin Q\}，则 M=M=（ ）.
A.
{1}\{1\}
B.
{2}\{2\}
C.
{3}\{3\}
D.
{1,2,3}\{1,2,3\}

2023 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A=[−1,2)A=[-1,2)，B=ZB=\mathbf{Z}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−2,−1,0,1}\{-2,-1,0,1\}
B.
{−1,0,1}\{-1,0,1\}
C.
{−1,0}\{-1,0\}
D.
{−1}\{-1\}

2022 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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14集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，则“a>1a>1”是“1a<1\frac1a<1”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2018 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，则“a>1a>1”是“a2>1a^2>1”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件

2016 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，则“a>1a>1”是“a2>1a^2>1”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分也非必要条件

2016 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 中至少有一个数是虚数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是虚数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in \mathbf{C}，则“z1z_{1}，z2z_{2} 均为实数”是“z1−z2z_{1} - z_{2} 是实数”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件

2015 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“a+b>4a + b > 4”是“a>2a > 2 且 b>2b > 2”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“a+b>4a + b > 4”是“a>2a > 2 且 b>2b > 2”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a>2a>2 且 b>2b>2，则 a+b>4a+b>4，所以“a+b>4a+b>4”是“a>2a>2 且 b>2b>2”的必要条件. 但取 a=3a=3、b=2b=2，有 a+b=5>4a+b=5>4，而 b>2b>2 不成立，故不是充分条件，选 B. \end{solution}
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 上海 · 文 · 第 15 题 · 选择题

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16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B=\{x\mid x\geqslant a-1\}. 若 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩽1a\leqslant1 时，
A=(−∞,a]∪[1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty)
而 B=[a−1,+∞)B=[a-1,+\infty). 因为 a−1<aa-1<a，三段合起来覆盖整个实数轴.
当 a>1a>1 时，
A=(−∞,1]∪[a,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty)
要使 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，必须使 BB 的左端点满足 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2；反之 1<a⩽21<a\leqslant2 时确实有 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}. 综上 a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty,2)
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
(2,+∞)(2,+\infty)
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2013 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} “便宜没好货”表示好货一定不便宜，即若一件货物是好货，则它不便宜. 因此“不便宜”是“好货”的必要条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分也非必要条件

2013 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}. 若 A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a⩽1a\leqslant1，则
A=(−∞,a]∪[1,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
由于 a−1⩽aa-1\leqslant a，此时 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}.
若 a>1a>1，则
A=(−∞,1]∪[a,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
要覆盖区间 (1,a)(1,a)，必须且只需 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2. 综合两种情形，a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)\left(-\infty, 2\right)
B.
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
C.
(2,+∞)\left(2, +\infty\right)
D.
[2,+∞)\left[2, +\infty\right)

2013 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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17集合与逻辑基础★★☆☆☆
钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 把“便宜”记为 pp，把“好货”记为 qq. “便宜没好货”表示 p⇒¬qp\Rightarrow\lnot q，其逆否命题为 q⇒¬pq\Rightarrow\lnot p. 因而“好货”是“不便宜”的充分条件，等价地说“不便宜”是“好货”的必要条件. 题目问的是后者，所以选 B. \end{solution}
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分也非必要条件

2013 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
对于常数 mm，nn，“mn>0mn > 0”是“方程 mx2+ny2=1mx^{2} + ny^{2} = 1 表示的曲线是椭圆”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2012 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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17集合与逻辑基础★★☆☆☆
若三角方程 sin⁡x=0\sin x = 0 与 sin⁡2x=0\sin 2x = 0 的解集分别为 EE，FF，则（ ）
A.
E⊊FE \subsetneq F
B.
E⊋FE \supsetneq F
C.
E=FE = F
D.
E∩F=∅E \cap F = \varnothing

2011 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} （k∈Zk \in \mathbf{Z}） 是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设条件 pp：x=2kπ+π4x=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k∈Zk\in\mathbf{Z}，条件 qq：tan⁡x=1\tan x=1. 若 pp 成立，则 tan⁡x=tan⁡(2kπ+π4)=1\tan x=\tan\left(2k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1，所以 pp 是 qq 的充分条件.
但 qq 的一般解为 x=kπ+π4x=k\pi+\frac{\pi}{4}，例如 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 满足 qq，却不能写成 2kπ+π42k\pi+\frac{\pi}{4}. 所以 pp 不是 qq 的必要条件，故选 A，即充分不必要条件. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
“x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}（k∈Zk \in \mathbf{Z}）”是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
“−2⩽a⩽2-2 \leqslant a \leqslant 2”是“实系数一元二次方程 x2+ax+1=0x^2 + ax + 1 = 0 有虚根”的（ ）
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
给定空间中的直线 ll 及平面 α\alpha，条件“直线 ll 与平面 α\alpha 内无数条直线都垂直”是“直线 ll 与平面 α\alpha 垂直”的（\quad）
A.
充要条件
B.
充分非必要条件
C.
必要非充分条件
D.
既非充分又非必要条件

2008 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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