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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_n = 3n + 6，bn=2n+7b_n = 2n + 7 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4，⋯\cdots，cnc_n，⋯\cdots.
(1) 求 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4； (2) 求证：在数列 {an}\{a_n\} 中，但不在数列 {bn}\{b_n\} 中的项恰为 a2a_2，a4a_4，⋯\cdots，a2na_{2n}，⋯\cdots； (3) 求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

2011 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
记函数 f(x)=2−x+3x+1f(x) = \sqrt{2 - \frac{x + 3}{x + 1}} 的定义域为 AA，g(x)=lg⁡[(x−a−1)(2a−x)]g(x) = \lg [(x - a - 1)(2a - x)]（a<1a < 1）的定义域为 BB.
(1) 求 AA. (2) 若 B⊆AB \subseteq A，求实数 aa 的取值范围.

2004 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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