设函数 $f(x) = 2|x - 1| + x - 1$，$g(x) = 16x^{2} - 8x + 1$，记 $f(x) \leqslant 1$ 的解集为 $M$，$g(x) \leqslant 4$ 的解集为 $N$.

(1) 求 $M$； (2) 当 $x \in M \cap N$ 时，证明：$x^2 f(x) + x[f(x)]^2 \leqslant \frac{1}{4}$.

设全集 $U = \mathbf{R}$.

(1) 解关于 $x$ 的不等式 $|x - 1| + a - 1 > 0$（$a \in \mathbf{R}$）； (2) 记 $A$ 为（1）中不等式的解集，集合 $B = \left\{x \mid \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \right\}$，若 $(\complement_U A) \cap B$ 恰有 $3$ 个元素，求 $a$ 的取值范围.