在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=3$，对任意 $n\in\mathbf{N}^*$ 且 $n\ge2$，均存在正整数 $i\in[1,n-1]$，满足 $a_{n+1}=2a_n-a_i$.

(1) 求 $a_4$ 所有可能的值； (2) 命题 $p$：若 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_8$ 成等差数列，则 $a_9<30$，证明 $p$ 是真命题，同时写出 $p$ 的逆命题 $q$，并判断命题 $q$ 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 $a_{2m}=3^m$（$m\in\mathbf{N}^*$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.