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07立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AC=42AC=4\sqrt2，BD1=9BD_1=9，则该正四棱柱的体积为______.

2025 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★★★
空间中有三个定点 AA，BB，CC，且 AB=BC=CA=1AB=BC=CA=1. 若在空间中任取 22 个不同的点，使它们与 AA，BB，CC 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法共有______ 种.

2023 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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05立体几何初步★☆☆☆☆
若圆柱的高为 44，底面积为 9π9\pi，则该圆柱的侧面积为______.

2022 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
已知球的体积为 36π36\pi，则该球主视图的面积等于______.

2017 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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07立体几何初步★☆☆☆☆
如图，以长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的顶点 DD 为坐标原点，过 DD 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系. 若 DB1→\overrightarrow{DB_1} 的坐标为 (4,3,2)(4,3,2)，则 AC1→\overrightarrow{AC_1} 的坐标是______.

2017 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 的边长为 33，BD1BD_1 与底面所成角的大小为 arctan⁡23\arctan\dfrac23，则该正四棱柱的高等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
若正三棱柱的所有棱长均为 aa，且其体积为 16316\sqrt{3}，则 a=a =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π2\pi，则其母线与轴的夹角的大小为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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06立体几何初步★☆☆☆☆
若正三棱柱的所有棱长均为 aa，且其体积为 16316\sqrt{3}，则 a=a =______.

2015 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍3\text{ 倍}，则其母线与底面夹角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）

2014 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______.
\begin{answer} 2424 \end{answer}
\begin{solution} 由主视图可知，两个缺口在横向上的宽均为 22，在竖直方向上的高均为 22：大长方形的总宽为 55，中间保留部分的宽为 11，所以两侧缺口的宽为 (5−1)2=2\frac{(5-1)}{2}=2，缺口的高度由图中标注为 22. 由左视图和俯视图可知，两个缺口均贯穿长方体的整个深度，深度为 33. 因此每个被切去的小长方体的体积为 2×3×2=122\times3\times2=12，两个小长方体的体积之和为 2×12=242\times12=24. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积是底面积的 33 倍，则其母线与轴所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示）
\begin{answer} arcsin⁡13\arcsin\frac{1}{3} \end{answer}
\begin{solution} 设圆锥底面半径为 r>0r>0，母线长为 ll. 由圆锥侧面积为 πrl\pi rl、底面积为 πr2\pi r^2，且侧面积是底面积的 33 倍，得 πrl=3πr2\pi rl=3\pi r^2，从而 l=3rl=3r. 设母线与轴所成的锐角为 θ\theta. 在圆锥的轴截面中，母线是斜边，底面半径是与 θ\theta 对应的对边，因此 sin⁡θ=rl=13\sin\theta=\dfrac r l=\dfrac13. 由于 0<θ<π20<\theta<\dfrac\pi2，所以 θ=arcsin⁡13\theta=\arcsin\dfrac13. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★★☆
在 xOyxOy 平面上，将两个半圆弧 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 （x⩾1x\geqslant 1）和 (x−3)2+y2=1(x-3)^2+y^2=1（x⩾3x\geqslant 3），两条直线 y=1y=1 和 y=−1y=-1 围成的封闭图形记为 DD，如图中阴影部分. 记 DD 绕 yy 轴旋转一周而成的几何体为 Ω\Omega，过 (0,y)(0,y) （∣y∣⩽1|y|\leqslant 1）作 Ω\Omega 的水平截面，所得截面面积为 4π1−y2+8π4\pi\sqrt{1-y^2}+8\pi，试利用祖暅原理，一个平放的圆柱和一个长方体，得出 Ω\Omega 的体积为______.
\begin{answer} 2π2+16π2\pi^2+16\pi \end{answer}
\begin{solution} 考虑一个半径为 11、轴向长度为 2π2\pi 的平放圆柱. 在高度 yy（∣y∣⩽1|y|\leqslant1）处，其水平截面为矩形，面积为
2π⋅21−y2=4π1−y22\pi\cdot2\sqrt{1-y^2}=4\pi\sqrt{1-y^2}
再取一个高为 22、水平截面面积恒为 8π8\pi 的长方体. 两者组成的几何体在每个 ∣y∣⩽1|y|\leqslant1 处的水平截面面积均为
4π1−y2+8π4\pi\sqrt{1-y^2}+8\pi
与 Ω\Omega 的对应截面面积相等. 由祖暅原理，
V(Ω)=π⋅12⋅2π+8π⋅2=2π2+16πV(\Omega)=\pi\cdot1^2\cdot2\pi+8\pi\cdot2=2\pi^2+16\pi
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱 Ω\Omega 的母线长为 ll，底面半径为 rr，OO 是上底面圆心，AA，BB 是下底面圆周上两个不同的点，BCBC 是母线，如图. 若直线 OAOA 与 BCBC 所成角的大小为 π6\frac{\pi}{6}，则 lr=‾\frac{l}{r} =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 3\sqrt{3} \end{answer}
\begin{solution} 过下底面点 AA 作母线 ADAD，交上底面于 DD，则 AD∥BCAD\parallel BC，且 OD⊥ADOD\perp AD、OD=rOD=r、AD=lAD=l. 因此 ∠OAD\angle OAD 就是直线 OAOA 与 BCBC 所成的角，大小为 π6\frac{\pi}{6}. 在直角三角形 ODAODA 中，
tan⁡π6=ODAD=rl\tan\frac{\pi}{6}=\frac{OD}{AD}=\frac{r}{l}
所以 rl=13\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}，即 lr=3\frac{l}{r}=\sqrt{3}. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π2\pi 的半圆面，则该圆锥的体积为______.

2012 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★★
如图，ADAD 与 BCBC 是四面体 ABCDABCD 中互相垂直的棱，BC=2BC = 2. 若 AD=2cAD = 2c，且 AB+BD=AC+CD=2aAB + BD = AC + CD = 2a，其中 aa，cc 为常数，则四面体 ABCDABCD 的体积的最大值是______.

2012 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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05立体几何初步★☆☆☆☆
一个高为 22 的圆柱，底面周长为 2π2\pi. 该圆柱的表面积为______.

2012 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若圆锥的侧面积为 2π2\pi，底面积为 π\pi，则该圆锥的体积为______.

2011 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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07立体几何初步★☆☆☆☆
若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为 33，33，22 的三角形，则该圆锥的侧面积为______.

2011 · 上海 · 文 · 第 7 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCDABCD 中，ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，剪去 △AOB\triangle AOB. 将剩余部分沿 OCOC，ODOD 折叠，使 OAOA，OBOB 重合，则以 A(B)A(B)，CC，DD，OO 为顶点的四面体的体积是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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06立体几何初步★☆☆☆☆
已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，且 PA=8PA = 8，则该四棱锥的体积是______.

2010 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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05立体几何初步★★★☆☆
如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 22，高为 44，则异面直线 BD1BD_1 与 ADAD 所成角的大小是______. （结果用反三角函数表示）

2009 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知三个球的半径 R1R_1，R2R_2，R3R_3 满足 R1+2R2=3R3R_1 + 2R_2 = 3R_3，则它们的表面积 S1S_1，S2S_2，S3S_3 满足的等量关系是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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05立体几何初步★★☆☆☆
如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 22，高为 44，则异面直线 BD1BD_1 与 ADAD 所成角的大小是______. （结果用反三角函数表示）

2009 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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06立体几何初步★☆☆☆☆
若球 O1O_1，O2O_2 表面积之比 S1S2=4\frac{S_1}{S_2} = 4，则它们的半径之比 R1R2=\frac{R_1}{R_2} =______.

2009 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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