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18立体几何初步★★★☆☆
四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面 ABCDABCD 是矩形，点 HH 在线段 ADAD 上，PH⊥平面 ABCDPH\perp\text{平面 }ABCD，AB=2AB=2，AH=1AH=1，HD=4HD=4.
(1) 证明：HC⊥PBHC \perp PB； (2) 若四棱锥体积 VP−ABCD=1053V_{P-ABCD}=\frac{10\sqrt{5}}{3}，求二面角 C−PB−HC-PB-H 的大小.

2026 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，PP 是圆锥顶点，OO 为底面圆心，ABAB 为底面直径，且 AB=2AB=2.
(1) 若直线 PAPA 与圆锥底面所成角为 π3\frac{\pi}{3}，求圆锥侧面积； (2) 已知 QQ 是母线 PAPA 中点，点 CC，DD 在底面圆周上，且弧 ACAC 长为 π3\frac{\pi}{3}，CD∥ABCD\parallel AB. 设点 TT 在线段 OCOC 上，证明 QT∥PBDQT\parallel PBD 所在平面.

2025 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，OO 为底面 ABCDABCD 的中心.
(1) 若 AP=5AP=5，AD=32AD=3\sqrt{2}，将 △POA\triangle POA 绕直线 POPO 旋转一周，求所得旋转体的体积； (2) 若 AP=ADAP=AD，EE 为 PBPB 的中点，求直线 BDBD 与平面 AECAEC 所成角的大小.

2024 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB∥DCAB\parallel DC，AB⊥ADAB\perp AD，AB=2AB=2，AD=3AD=3，DC=4DC=4.

2023 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知三棱锥 P−ABCP-ABC，底面 ABCABC 为等边三角形，OO 为 ACAC 的中点，AP=AC=2AP=AC=2，且 PO⊥PO\perp 底面 ABCABC.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 VV； (2) 若 MM 为 BCBC 中点，求 PMPM 与平面 PACPAC 所成角的大小.

2022 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 AB=BC=2AB=BC=2，AA1=3AA_1=3.
(1) 若 PP 是棱 A1D1A_1D_1 上的动点，求三棱锥 C−PADC-PAD 的体积； (2) 求直线 AB1AB_1 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 的夹角大小.

2021 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 11 的正方形，正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 旋转形成一个圆柱.
(1) 求该圆柱的表面积； (2) 正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 至 ABC1D1ABC_1D_1，求线段 CD1CD_1 与平面 ABCDABCD 所成的角.

2020 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 BB1BB_1 上一点，已知 BM=2BM=2，AD=4AD=4，CD=3CD=3，AA1=5AA_1=5.
(1) 求直线 A1CA_1C 与平面 ABCDABCD 的夹角； (2) 求点 AA 到平面 A1MCA_1MC 的距离.

2019 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，半径为 22.
(1) 设圆锥的母线长为 44，求圆锥的体积； (2) 设 PO=4PO=4，OAOA，OBOB 是底面半径，且 ∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ，MM 为线段 ABAB 的中点，如图，求异面直线 PMPM 与 OBOB 所成的角的大小.

2018 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，两直角边 ABAB 和 ACAC 的长分别为 44 和 22，侧棱 AA1AA_1 的长为 55.
(1) 求三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积； (2) 设 MM 是 BCBC 中点，求直线 A1MA_1M 与平面 ABCABC 所成角的大小.

2017 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
将边长为 11 的正方形 AA1O1OAA_1O_1O（及其内部）绕 OO1OO_1 旋转一周形成圆柱，如图，AC^\widehat{AC} 长为 2π3\dfrac{2\pi}{3}，A1B1^\widehat{A_1B_1} 长为 π3\dfrac{\pi}{3}，其中 B1B_1 与 CC 在平面 AA1O1OAA_1O_1O 的同侧.
(1) 求三棱锥 C−O1A1B1C-O_1A_1B_1 的体积； (2) 求异面直线 B1CB_1C 与 AA1AA_1 所成角的大小.

2016 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
将边长为 11 的正方形 AA1O1OAA_1O_1O（及其内部）绕 OO1OO_1 旋转一周形成圆柱，如图，AC^\widehat{AC} 长为 5π6\dfrac{5\pi}{6}，A1B1^\widehat{A_1B_1} 长为 π3\dfrac{\pi}{3}，其中 B1B_1 与 CC 在平面 AA1O1OAA_1O_1O 的同侧.
(1) 求圆柱的体积与侧面积； (2) 求异面直线 O1B1O_1B_1 与 OCOC 所成的角的大小.

2016 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=1AA_{1} = 1，AB=AD=2AB = AD = 2，EE，FF 分别是棱 ABAB，BCBC 的中点. 证明 A1A_{1}，C1C_{1}，FF，EE 四点共面，并求直线 CD1CD_{1} 与平面 A1C1FEA_{1}C_{1}FE 所成角的正弦值.

2015 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，底面的一条直径为 ABAB，CC 为半圆弧 AB^\widehat{AB} 的中点，EE 为劣弧 CB^\widehat{CB} 的中点. 已知 PO=2PO = 2，OA=1OA = 1，求三棱锥 P−AOCP - AOC 的体积，并求异面直线 PAPA 与 OEOE 所成角的余弦值.

2015 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.

2014 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 22 的正三棱锥 P−ABCP-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3P_{1}P_{2}P_{3}，如图，求 △P1P2P3\triangle P_{1}P_{2}P_{3} 的各边长及此三棱锥的体积 VV.
\begin{solution} 设正三棱锥的侧棱长为 ll. 由展开图，P1P_1，BB，P2P_2 共线，且 P1B=BP2=lP_1B=BP_2=l，所以 P1P2=2lP_1P_2=2l. 又因 P2P_2，CC，P3P_3 共线且 P2C=CP3=lP_2C=CP_3=l，有 P2P3=2lP_2P_3=2l；因 P3P_3，AA，P1P_1 共线且 P3A=AP1=lP_3A=AP_1=l，有 P3P1=2lP_3P_1=2l. 因此 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的三边相等.
在展开图中，AA、BB、CC 分别位于外三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 的三边上，且每个点把相应边分成长度均为 ll 的两段，所以 AA、BB、CC 分别是三边的中点. 由三角形中位线定理，ABAB、BCBC、CACA 分别等于外三角形对应边长的一半，即 AB=BC=CA=lAB=BC=CA=l. 底面边长为 22，故 l=2l=2，于是 P1P2=P2P3=P3P1=2l=4P_1P_2=P_2P_3=P_3P_1=2l=4.
设底面中心为 OO. 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3，所以其外接圆半径为 AO=233=233AO=\dfrac23\sqrt3=\dfrac{2\sqrt3}{3}. 正三棱锥的高 POPO 垂直于底面，且 PA=l=2PA=l=2. 在直角三角形 PAOPAO 中， PO=PA2−AO2=4−43=263PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4-\dfrac43}=\dfrac{2\sqrt6}{3}.
底面面积为 SABC=12×2×3=3S_{ABC}=\dfrac12\times2\times\sqrt3=\sqrt3，故三棱锥体积为 V=13SABC⋅PO=13×3×263=223V=\dfrac13S_{ABC}\cdot PO=\dfrac13\times\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt6}{3}=\dfrac{2\sqrt2}{3}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' 中，AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA′=1AA'=1，证明直线 BC′BC' 平行于平面 D′ACD'AC，并求直线 BC′BC' 到平面 D′ACD'AC 的距离.

2013 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★☆☆☆
如图，正三棱锥 O−ABCO - ABC 底面边长为 22，高为 11，求该三棱锥的体积及表面积.
\begin{solution} 正三角形 ABCABC 的高为 22−12=3\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}，所以底面积为 12×2×3=3\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}. 因此三棱锥的体积为
V=13×3×1=33V=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}
设 HH 是正三角形 ABCABC 的中心，DD 是 ABAB 的中点. 则 HDHD 是正三角形的内切半径，HD=33HD=\frac{\sqrt{3}}{3}，且正三棱锥的高 OH=1OH=1，所以侧面三角形 OABOAB 的高为
OD=OH2+HD2=12+(33)2=233OD=\sqrt{OH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
每个侧面三角形的面积为 12×2×233=233\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}，三个侧面的总面积为 232\sqrt{3}. 故三棱锥的表面积为
S=3+23=33S=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}
\end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，EE 是 PCPC 的中点. 已知 AB=2AB = 2，AD=22AD = 2\sqrt{2}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三角形 PCDPCD 的面积； (2) 异面直线 BCBC 与 AEAE 所成角的大小.

2012 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，DD 是 PCPC 的中点. 已知 ∠BAC=π2\angle BAC = \frac{\pi}{2}，AB=2AB = 2，AC=23AC = 2\sqrt{3}，PA=2PA = 2. 求：
(1) 三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积； (2) 异面直线 BCBC 与 ADAD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

2012 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 1 的正四棱柱，O1O_1 为 A1C1A_1C_1 与 B1D1B_1D_1 的交点.
(1) 设 AB1AB_1 与底面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 所成角的大小为 α\alpha，二面角 A−B1D1−A1A - B_{1}D_{1} - A_1 的大小为 β\beta. 求证：tan⁡β=2tan⁡α\tan \beta = \sqrt{2}\tan \alpha； (2) 若点 CC 到平面 AB1D1AB_1D_1 的距离为 43\frac{4}{3}，求正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的高.

2011 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是底面边长为 11 的正四棱柱，高 AA1=2AA_{1} = 2，求：
(1) 异面直线 BDBD 与 AB1AB_{1} 所成角的余弦值； (2) 四面体 AB1D1CAB_{1}D_{1}C 的体积.

2011 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★☆☆
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 44 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米9.6\text{ 米} 铁丝. 骨架将圆柱底面 88 等分，再用 S 平方米S\text{ 平方米} 塑料片制成圆柱的侧面和下底面 （不安装上底面）.
(1) 当圆柱底面半径 rr 取何值时，SS 取得最大值？并求出该最大值 （结果精确到 0.01 平方米0.01\text{ 平方米}）； (2) 在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为 0.3 米0.3\text{ 米} 时，求图中两根直线型霓虹灯 A1B3A_{1}B_{3}，A3B5A_{3}B_{5} 所在异面直线所成角的大小 （结果用反三角函数表示）.

2010 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，AA1=BC=AB=2AA_1 = BC = AB = 2，AB⊥BCAB \perp BC，求二面角 B1−A1C−C1B_1 - A_1C - C_1 的大小.

2009 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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16立体几何初步★★☆☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE 是 BC1BC_{1} 的中点. 求直线 DEDE 与平面 ABCDABCD 所成角的大小. （结果用反三角函数表示）

2008 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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