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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，母线长分别为 2(r2−r1)2\left( r_2-r_1 \right) 和 3(r2−r1)3\left( r_2-r_1 \right)，则圆台甲与乙的体积之比 V甲V乙=\dfrac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}}=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，圆台甲，乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2-r_1)，3(r2−r1)3(r_2-r_1)，则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，C1D1C_1D_1 的中点，以 EFEF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有______个公共点.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=4AB=4，OO 为 AC1AC_1 的中点，若该正方体的棱与球 OO 的球面有公共点，则球 OO 的半径的取值范围是______.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知一个圆锥的底面半径为 66，其体积为 30π30\pi，则该圆锥的侧面积为______.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 11，母线长为 33，则该圆锥内半径最大的球的体积为______ π\pi.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的底面半径为 11，母线长为 33，则该圆锥内半径最大的球的体积为______.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3\mathrm{D} 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\text{ cm}，AA1=4 cmAA_1=4\text{ cm}. 3D3\mathrm{D} 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\text{ g/cm}^3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
学生到工厂劳动实践，利用 3D3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 挖去四棱锥 O−EFGHO-EFGH 后所得的几何体，其中 OO 为长方体的中心，EE，FF，GG，HH 分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cmAB=BC=6\mathrm{~cm}，AA1=4 cmAA_1=4\mathrm{~cm}. 3D3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm30.9\mathrm{~g/cm^3}. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g\mathrm{g}.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥的四个面都是腰长为 22 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______.
\begin{solution} 由正视图及四个面都是腰长为 22 的等腰三角形可知，底面为底边长为 232\sqrt3、底边上的高为 11 的等腰三角形，且棱锥的高为 11.其中正视图中半底长为 3\sqrt3、高为 11，满足 (3)2+12=22(\sqrt3)^2+1^2=2^2，与各面的腰长相符.因此底面积为
S底=12×23×1=3S_{\text{底}}=\frac12\times2\sqrt3\times1=\sqrt3
所以体积为
V=13S底h=13×3×1=33V=\frac13S_{\text{底}}h=\frac13\times\sqrt3\times1=\frac{\sqrt3}{3}
\end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______.

2016 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 和 ADPQADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 MM 在线段 PQPQ 上，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点. 设异面直线 EMEM 与 AFAF 所成的角为 θ\theta，则 cos⁡θ\cos \theta 的最大值为______.
\begin{solution} 设两个正方形的边长均为 s>0s>0，建立直角坐标系，使 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，B=(s,0,0)B=(s,0,0)，D=(0,s,0)D=(0,s,0)，C=(s,s,0)C=(s,s,0)，Q=(0,0,s)Q=(0,0,s)，P=(0,s,s)P=(0,s,s). 则 E=(s2,0,0)E=\left(\frac s2,0,0\right)，F=(s,s2,0)F=\left(s,\frac s2,0\right). 设 M=(0,t,s)M=(0,t,s)，其中 0⩽t⩽s0\leqslant t\leqslant s.
取 EMEM 和 AFAF 的方向向量，得 EM→=(−s2,t,s)\overrightarrow{EM}=\left(-\frac s2,t,s\right)，AF→=(s,s2,0)\overrightarrow{AF}=\left(s,\frac s2,0\right). 因而
cos⁡θ=∣EM→⋅AF→∣∣EM→∣∣AF→∣=∣t−s∣554s2+t2\cos\theta=\frac{\left\lvert\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{AF}\right\rvert}{\lvert\overrightarrow{EM}\rvert\lvert\overrightarrow{AF}\rvert} =\frac{\left\lvert t-s\right\rvert}{\sqrt5\sqrt{\frac54s^2+t^2}}
令 u=tsu=\dfrac ts，则 0⩽u⩽10\leqslant u\leqslant1，从而
cos⁡2θ=(1−u)25(54+u2)⩽425\cos^2\theta=\frac{(1-u)^2}{5\left(\frac54+u^2\right)}\leqslant\frac4{25}
其中不等式等价于 u2−10u⩽0u^2-10u\leqslant0. 当 u=0u=0，即 t=0t=0 时等号成立，所以 cos⁡θ\cos\theta 的最大值为 25\dfrac25. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，其正视图和侧视图都是边长为 11 的正方形，俯视图是直角边长为 11 的等腰直角三角形. 设点 MM，NN，PP 分别是棱 ABAB，BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，则三棱锥 P−A1MNP - A_{1}MN 的体积是______.

2015 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，MM，NN 分别是 CDCD，CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 A1MA_{1}M 与 DNDN 所成角的大小是______.

2012 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，MM，NN 分别是 CDCD，CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 A1MA_{1}M 与 DNDN 所成角的大小是______.

2012 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，半径为 RR 的球 OO 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.

2011 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 的大小是 60∘60^{\circ}，AB⊂αAB \subset \alpha，B∈lB \in l，ABAB 与 ll 所成的角为 30∘30^{\circ}，则 ABAB 与平面 β\beta 所成角的正弦值是______.

2010 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，二面角 α−l−β\alpha - l - \beta 的大小是 60∘60^{\circ}，AB⊂αAB \subset \alpha，B∈lB \in l，ABAB 与 ll 所成的角为 30∘30^{\circ}，则 ABAB 与平面 β\beta 所成角的正弦值是______.

2010 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的各条棱长都相等，MM 是侧棱 CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 AB1AB_{1} 和 BMBM 所成的角的大小是______.

2009 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的各条棱长都相等，MM 是侧棱 CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 AB1AB_{1} 和 BMBM 所成的角的大小是______.

2009 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱长为 2\sqrt{2}，底面三角形的边长为 11，则 BC1BC_{1} 与侧面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 所成的角是______.

2007 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱长为 2\sqrt{2}，底面三角形的边长为 1，则 BC1BC_{1} 与侧面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 所成的角是______.

2007 · 四川 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 O−ABCO-ABC 中，三条棱 OAOA，OBOB，OCOC 两两互相垂直，且 OA=OB=OCOA=OB=OC，MM 是 ABAB 边的中点，则 OMOM 与平面 ABCABC 所成角的大小是______（用反三角函数表示）.

2006 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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