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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，BC∥ADBC\parallel AD，EF∥ADEF\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt{3}，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel平面 CDECDE； (2) 求二面角 F−BM−EF-BM-E 的正弦值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，EF∥ADEF\parallel AD，BC∥ADBC\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt3，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel 平面 CDECDE； (2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 底面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AA1=2AA_1=2，A1A_1 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离为 1.
(1) 证明 A1C=ACA_1C=AC； (2) 已知 AA1AA_1 与 BB1BB_1 的距离为 2，求 AB1AB_1 与平面 BCC1B1BCC_1B_1 所成角的正弦值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ.
(1) 证明：平面 ACC1A1⊥ACC_1A_1\perp 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 设 AB=A1BAB=A_1B，AA1=2AA_1=2，求四棱锥 A1−BB1C1CA_1-BB_1C_1C 的高.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，CD∥ABCD\parallel AB，AD=DC=CB=1AD=DC=CB=1，AB=2AB=2，DP=3DP=\sqrt3.
(1) 证明：BD⊥PABD\perp PA； (2) 求 PDPD 与平面 PABPAB 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCDABCD 是边长为 8 cm8\mathrm{~cm} 的正方形，△EAB\triangle EAB，△FBC\triangle FBC，△GCD\triangle GCD，△HDA\triangle HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCDABCD 垂直.
(1) 证明：EF∥EF\parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 证明：BF⊥DEBF\perp DE； (2) 当 B1DB_1D 为何值时，面 BB1C1CBB_1C_1C 与面 DEFDEF 所成的二面角的正弦值最小？

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 求三棱锥 F−EBCF-EBC 的体积； (2) 已知 DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，证明：BF⊥DEBF\perp DE.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1.
(1) 证明：点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内； (2) 若 AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA1=3AA_1=3，求二面角 A−EF−A1A-EF-A_1 的正弦值.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1. 证明：
(1) 当 AB=BCAB=BC 时，EF⊥ACEF\perp AC； (2) 点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 11 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连接 DGDG，如图 22.
(1) 证明：图 22 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 22 中的二面角 B−CG−AB-CG-A 的大小.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 1 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连结 DGDG，如图 2.
(1) 证明：图 2 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 2 中的四边形 ACGDACGD 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，边长为 22 的正方形 ABCDABCD 所在的平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 当三棱锥 M−ABCM-ABC 体积最大时，求面 MABMAB 与面 MCDMCD 所成二面角的正弦值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 所在平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 在线段 AMAM 上是否存在点 PP，使得 MC∥MC\parallel 平面 PBDPBD？说明理由.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，AD∥BCAD\parallel BC，∠ADC=∠PAB=90∘\angle ADC=\angle PAB=90^\circ，BC=CD=12ADBC=CD=\dfrac12AD. EE 为棱 ADAD 的中点，异面直线 PAPA 与 CDCD 所成的角为 90∘90^\circ.
(1) 在平面 PABPAB 内找一点 MM，使得直线 CM∥CM\parallel 平面 PBEPBE，并说明理由； (2) 若二面角 P−CD−AP-CD-A 的大小为 45∘45^\circ，求直线 PAPA 与平面 PCEPCE 所成角的正弦值.

2016 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥CDPA\perp CD，AD∥BCAD\parallel BC，∠ADC=∠PAB=90∘\angle ADC=\angle PAB=90^\circ，BC=CD=12ADBC=CD=\dfrac12 AD.
(1) 在平面 PADPAD 内找一点 MM，使得直线 CM∥CM\parallel 平面 PABPAB，并说明理由； (2) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PBDPBD.

2016 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. 在正方体中，设 BCBC 的中点为 MM，GHGH 的中点为 NN.
(1) 请将字母 FF，GG，HH 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2) 证明：直线 MN∥MN\parallel 平面 BDHBDH； (3) 求二面角 A−EG−MA - EG - M 的余弦值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按正方体的顶点对应关系，FF，GG，HH 分别标在 BB，CC，DD 的正上方顶点处. \item 取正方体棱长为 11，建立直角坐标系，令 A=(0,0,0)A=(0,0,0)， B=(1,0,0)\ B=(1,0,0)， C=(1,1,0)\ C=(1,1,0)， D=(0,1,0)\ D=(0,1,0) E=(0,0,1)E=(0,0,1)， F=(1,0,1)\ F=(1,0,1)， G=(1,1,1)\ G=(1,1,1)， H=(0,1,1)\ H=(0,1,1). 则 M=(1,12,0)M=\left(1,\frac12,0\right)，N=(12,1,1)N=\left(\frac12,1,1\right)，所以
MN→=(−12,12,1)=12BD→+DH→\overrightarrow{MN}=\left(-\frac12,\frac12,1\right)=\frac12\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DH}
平面 BDHBDH 的方程为 x+y=1x+y=1，而 MM 的坐标满足 x+y=32x+y=\frac32. 由于 BD→\overrightarrow{BD} 和 DH→\overrightarrow{DH} 都在平面 BDHBDH 内，且 MM 不在该平面上，故 MN∥MN\parallel 平面 BDHBDH. \item 平面 AEGAEG 内两个相交向量可取 EA→=(0,0,−1)\overrightarrow{EA}=(0,0,-1)，EG→=(1,1,0)\overrightarrow{EG}=(1,1,0)，故其法向量可取 n1=(1,−1,0)\boldsymbol{n}_1=(1,-1,0). 平面 MEGMEG 内两个相交向量可取 EM→=(1,12,−1)\overrightarrow{EM}=\left(1,\frac12,-1\right)，EG→=(1,1,0)\overrightarrow{EG}=(1,1,0)，故其法向量可取 n2=(1,−1,12)\boldsymbol{n}_2=\left(1,-1,\frac12\right).
cos⁡θ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=22⋅32=223\cos\theta=\frac{\lvert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}_1\rvert\lvert\boldsymbol{n}_2\rvert} =\frac{2}{\sqrt2\cdot\frac32}=\frac{2\sqrt2}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1) 请将字母 FF，GG，HH 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2) 判断平面 BEGBEG 与平面 ACHACH 的位置关系，并证明你的结论； (3) 证明：直线 DF⊥DF \perp 平面 BEGBEG.

2015 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
三棱锥 A−BCDA - BCD 及其侧视图、俯视图如图所示. 设 MM，NN 分别为线段 ADAD，ABAB 的中点，PP 为线段 BCBC 上的点，且 MN⊥NPMN \perp NP.
(1) 证明：PP 为线段 BCBC 的中点； (2) 求二面角 A−NP−MA - NP - M 的余弦值.

2014 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1ABB_{1}A_{1} 和 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 都为矩形.
(1) 若 AC⊥BCAC \perp BC，证明：直线 BC⊥BC \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 设 DD，EE 分别是线段 BCBC，CC1CC_{1} 的中点，在线段 ABAB 上是否存在一点 MM，使直线 DE∥DE \parallel 平面 A1MCA_{1}MC？请证明你的结论.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 u=AA1→\boldsymbol{u}=\overrightarrow{AA_{1}}，v=AB→\boldsymbol{v}=\overrightarrow{AB}，w=AC→\boldsymbol{w}=\overrightarrow{AC}. 由两个四边形为矩形，得 u⋅v=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=0，u⋅w=0\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}=0. 又 BC→=w−v\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}，所以 BC→⋅u=0\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{u}=0，即 BC⊥AA1BC\perp AA_{1}. 已知 AC⊥BCAC\perp BC，而 ACAC 与 AA1AA_{1} 是平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1} 内相交的两条直线，因此 BC⊥BC\perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}. \item 取 MM 为 ABAB 的中点. 用上面的向量记号，有 DE→=12(u+w−v)\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}-\boldsymbol{v}\right)，A1M→=12v−u\overrightarrow{A_{1}M}=\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}，A1C→=w−u\overrightarrow{A_{1}C}=\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u}. 从而
DE→=−A1M→+12A1C→\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{A_{1}M}+\frac12\overrightarrow{A_{1}C}
右端是平面 A1MCA_{1}MC 内两条相交直线方向向量的线性组合，所以直线 DEDE 的方向平行于平面 A1MCA_{1}MC. 又因 ABCABC 是三角形，且 u\boldsymbol{u} 同时垂直于 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，故 u\boldsymbol{u}，v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w} 线性无关. 若 DD 在平面 A1MCA_{1}MC 内，则存在实数 λ\lambda，μ\mu，使
A1D→=12(v+w)−u=λ(12v−u)+μ(w−u)\overrightarrow{A_{1}D}=\frac12(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})-\boldsymbol{u}=\lambda\left(\frac12\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\right)+\mu(\boldsymbol{w}-\boldsymbol{u})
比较 v\boldsymbol{v}，w\boldsymbol{w}，u\boldsymbol{u} 的系数，分别得到 λ=1\lambda=1，μ=12\mu=\frac12，λ+μ=1\lambda+\mu=1，矛盾. 因此 DD 不在平面 A1MCA_{1}MC 内，故 DE∥DE\parallel 平面 A1MCA_{1}MC. 因此存在这样的点 MM，且它是线段 ABAB 的中点. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 AA1⊥AA_{1} \perp 底面 ABCABC，AB=AC=2AA1AB = AC = 2AA_{1}，∠BAC=120∘\angle BAC = 120^{\circ}，DD，D1D_{1} 分别是线段 BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，PP 是线段 ADAD 的中点.
(1) 在平面 ABCABC 内，试作出过点 PP 与平面 A1BCA_{1}BC 平行的直线 ll，说明理由，并证明直线 l⊥l \perp 平面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}； (2) 设（1）中的直线 ll 交 ABAB 于点 MM，交 ACAC 于点 NN，求二面角 A−A1M−NA-A_{1}M-N 的余弦值.

2013 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 AA1⊥AA_{1}\perp 底面 ABCABC，AB=AC=2AA1=2AB=AC=2AA_{1}=2，∠BAC=120∘\angle BAC=120^{\circ}，DD，D1D_{1} 分别是线段 BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，点 PP 是线段 ADAD 上异于端点的点.
(1) 在平面 ABCABC 内，试作出过点 PP 与平面 A1BCA_{1}BC 平行的直线 ll，请说明理由，并证明直线 l⊥l\perp 平面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}； (2) 设（1）中的直线 ll 交 ACAC 于点 QQ. 求三棱锥 A1−QC1DA_{1}-QC_{1}D 的体积. （锥体体积公式：V=13ShV=\frac13Sh，其中 SS 为底面面积，hh 为高）

2013 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，∠APB=90∘\angle APB = 90^{\circ}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^{\circ}，AB=BC=CAAB = BC = CA，平面 PAB⊥PAB \perp 平面 ABCABC.
(1) 求直线 PCPC 与平面 ABCABC 所成角的正弦值； (2) 求二面角 B−AP−CB - AP - C 的余弦值.

2012 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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