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05立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AC//A1C1AC//A_1C_1
B.
CC1⊥面ABCCC_1\perp \text{面} ABC
C.
ACD1//面A1C1BACD_1//\text{面} A_1C_1B
D.
ADD1⊥面ACD1ADD_1\perp \text{面} ACD_1

2026 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=3AA_1=3，AD=4AD=4，A1E=3ED1A_1E=3ED_1，2C1F=FC2C_1F=FC.
(1) 求证：BD⊥面CEFBD\perp \text{面} CEF； (2) 求面 AEFAEF 与面 CEFCEF 的夹角的余弦值； (3) 求三棱锥 A−CEFA-CEF 的体积.

2026 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若 mm 为直线，α\alpha，β\beta 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊂αn\subset \alpha，则 m∥nm\parallel n
B.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
C.
若 m∥αm\parallel\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
D.
若 m⊂αm\subset\alpha，α⊥β\alpha\perp\beta，则 m⊥βm\perp\beta

2025 · 天津 · 第 4 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别为 A1D1A_1D_1，C1B1C_1B_1 中点，且 CG=3GC1CG=3GC_1.
(1) 求证：GF⊥GF\perp 平面 FBEFBE； (2) 求平面 FBEFBE 与平面 EBGEBG 的夹角余弦； (3) 求四面体 D−FBED-FBE 的体积.

2025 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
B.
若 m⊥αm\perp \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
C.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n
D.
若 m⊥αm\perp \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n

2024 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，底面 ABCDABCD 为梯形，AB∥CDAB\parallel CD，A1A⊥A_1A\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥ABAD\perp AB，其中 AB=A1A=2AB=A_1A=2，AD=DC=1AD=DC=1. NN 是 B1C1B_1C_1 的中点，MM 是 DD1DD_1 的中点.
(1) 求证：D1N∥D_1N\parallel 平面 CB1MCB_1M； (2) 求平面 CB1MCB_1M 与平面 BB1CC1BB_1CC_1 的夹角余弦值； (3) 求点 BB 到平面 CB1MCB_1M 的距离.

2024 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，线段 PCPC 上的点 MM 满足 PM=13PCPM=\dfrac{1}{3}PC，线段 PBPB 上的点 NN 满足 PN=23PBPN=\dfrac{2}{3}PB，则三棱锥 P−AMNP-AMN 和三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积之比为（ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
29\dfrac{2}{9}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
49\dfrac{4}{9}

2023 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，若 A1A⊥面 ABCA_1A\perp \text{面 }ABC，AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=A1A=2AB=AC=A_1A=2，A1C1=1A_1C_1=1，MM，NN 分别是 BCBC，BABA 中点.
(1) 求证：A1N∥平面 C1MAA_1N\parallel \text{平面 }C_1MA； (2) 求平面 C1MAC_1MA 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成夹角的余弦值； (3) 求点 CC 到平面 C1MAC_1MA 的距离.

2023 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AC⊥ABAC\perp AB，点 DD，EE，FF 分别为 A1B1A_1B_1，AA1AA_1，CDCD 的中点，AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) 求直线 BEBE 与平面 CC1DCC_1D 所成角的正弦值； (3) 求平面 A1CDA_1CD 与平面 CC1DCC_1D 所成二面角的余弦值.

2022 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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06立体几何初步★★★☆☆
两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32π3\dfrac{32\pi}{3}，两个圆锥的高之比为 1:31:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
9π9\pi
D.
12π12\pi

2021 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为棱 BCBC 的中点，FF 为棱 CDCD 的中点.
(1) 求证：D1F∥D_1F\parallel 平面 A1EC1A_1EC_1； (2) 求直线 AC1AC_1 与平面 A1EC1A_1EC_1 所成角的正弦值； (3) 求二面角 A−A1C1−EA-A_1C_1-E 的正弦值.

2021 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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05立体几何初步★★☆☆☆
若棱长为 232\sqrt3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
12π12\pi
B.
24π24\pi
C.
36π36\pi
D.
144π144\pi

2020 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，AC⊥BCAC\perp BC，AC=BC=2AC=BC=2，CC1=3CC_1=3，点 DD，EE 分别在棱 AA1AA_1 和棱 CC1CC_1 上，且 AD=1AD=1，CE=2CE=2，MM 为棱 A1B1A_1B_1 的中点.
(1) 求证：C1M⊥B1DC_1M\perp B_1D； (2) 求二面角 B−B1E−DB-B_1E-D 的正弦值； (3) 求直线 ABAB 与平面 DB1EDB_1E 所成角的正弦值.

2020 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______. \begin{answer} π4\dfrac{\pi}{4} \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AE⊥AE\perp平面 ABCDABCD，CF∥AECF\parallel AE，AD∥BCAD\parallel BC，AD⊥ABAD\perp AB，AB=AD=1AB=AD=1，AE=BC=2AE=BC=2.
(1) 求证：BF∥BF\parallel平面 ADEADE； (2) 求直线 CECE 与平面 BDEBDE 所成角的正弦值； (3) 若二面角 E−BD−FE-BD-F 的余弦值为 13\dfrac{1}{3}，求线段 CFCF 的长.

2019 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥的底面是边长为 2\sqrt2 的正方形，侧棱长均为 5\sqrt5. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，△PCD\triangle PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 PCDPCD，PA⊥CDPA\perp CD，CD=2CD=2，AD=3AD=3.
(1) 设 GG，HH 分别为 PBPB，ACAC 的中点，求证：GH//GH// 平面 PADPAD； (2) 求证：PA⊥PA\perp 平面 PCDPCD； (3) 求直线 ADAD 与平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2019 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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11立体几何初步★★☆☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 11，除面 ABCDABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 EE，FF，GG，HH，MM（如图），则四棱锥 M−EFGHM-EFGH 的体积为______.

2018 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=2BCAD=2BC，AD⊥CDAD\perp CD，EG∥ADEG\parallel AD 且 EG=ADEG=AD，CD∥FGCD\parallel FG 且 CD=2FGCD=2FG，DG⊥DG\perp 平面 ABCDABCD，DA=DC=DG=2DA=DC=DG=2.
(1) 若 MM 为 CFCF 的中点，NN 为 EGEG 的中点，求证：MN∥MN\parallel 平面 CDECDE； (2) 求二面角 E−BC−FE-BC-F 的正弦值； (3) 若点 PP 在线段 DGDG 上，且直线 BPBP 与平面 ADGEADGE 所成的角为 60∘60^\circ，求线段 DPDP 的长.

2018 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 11，则四棱锥 A1−BB1D1DA_1-BB_1D_1D 的体积为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABCDABCD 中，△ABC\triangle ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥ABC\perp 平面 ABDABD，点 MM 为棱 ABAB 的中点，AB=2AB=2，AD=23AD=2\sqrt3，∠BAD=90∘\angle BAD=90^\circ.
(1) 求证：AD⊥BCAD\perp BC； (2) 求异面直线 BCBC 与 MDMD 所成角的余弦值； (3) 求直线 CDCD 与平面 ABDABD 所成角的正弦值.

2018 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1818，则这个球的体积为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCABC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. 点 DD，EE，NN 分别为棱 PAPA，PCPC，BCBC 的中点，MM 是线段 ADAD 的中点，PA=AC=4PA=AC=4，AB=2AB=2.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BDEBDE； (2) 求二面角 C−EM−NC-EM-N 的正弦值； (3) 已知点 HH 在棱 PAPA 上，且直线 NHNH 与直线 BEBE 所成角的余弦值为 721\dfrac{\sqrt{7}}{21}，求线段 AHAH 的长.

2017 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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