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05立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AC//A1C1AC//A_1C_1
B.
CC1⊥面ABCCC_1\perp \text{面} ABC
C.
ACD1//面A1C1BACD_1//\text{面} A_1C_1B
D.
ADD1⊥面ACD1ADD_1\perp \text{面} ACD_1

2026 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若 mm 为直线，α\alpha，β\beta 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊂αn\subset \alpha，则 m∥nm\parallel n
B.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
C.
若 m∥αm\parallel\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
D.
若 m⊂αm\subset\alpha，α⊥β\alpha\perp\beta，则 m⊥βm\perp\beta

2025 · 天津 · 第 4 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
B.
若 m⊥αm\perp \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
C.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n
D.
若 m⊥αm\perp \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n

2024 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，线段 PCPC 上的点 MM 满足 PM=13PCPM=\dfrac{1}{3}PC，线段 PBPB 上的点 NN 满足 PN=23PBPN=\dfrac{2}{3}PB，则三棱锥 P−AMNP-AMN 和三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积之比为（ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
29\dfrac{2}{9}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
49\dfrac{4}{9}

2023 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32π3\dfrac{32\pi}{3}，两个圆锥的高之比为 1:31:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
9π9\pi
D.
12π12\pi

2021 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
若棱长为 232\sqrt3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
12π12\pi
B.
24π24\pi
C.
36π36\pi
D.
144π144\pi

2020 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A.
B.
C.
D.

2016 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
已知下列三个命题：
① 若一个球的半径缩小到原来的 12\frac{1}{2}，则其体积缩小到原来的 18\frac{1}{8}； ② 若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③ 直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 与圆 x2+y2=12x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2} 相切.
其中真命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
C.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
D.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}

2013 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 是两条直线，α\alpha，β\beta 是两个平面，则 a⊥ba \perp b 的一个充分条件是（\quad）
A.
a⊥αa \perp \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta
B.
a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
C.
a⊂αa \subset \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
D.
a⊂αa \subset \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta

2008 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 是两条直线，α\alpha，β\beta 是两个平面，则 a⊥ba \perp b 的一个充分条件是（ ）
A.
a⊥αa \perp \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta
B.
a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
C.
a⊂αa \subset \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
D.
a⊂αa \subset \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta

2008 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 为两条直线，α\alpha，β\beta 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.
若 aa，bb 与 α\alpha 所成的角相等，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥αa \parallel \alpha，b∥βb \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 a∥ba \parallel b
C.
若 a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥ba \parallel b，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 a⊥ba \perp b

2007 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
设 aa，bb 为两条直线，α\alpha，β\beta 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.
若 aa，bb 与 α\alpha 所成的角相等，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥αa \parallel \alpha，b∥βb \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 a∥ba \parallel b
C.
若 a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥ba \parallel b，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 a⊥ba \perp b

2007 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
设 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta 是两个不同的平面. 考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.
m⊥α,n⊂β,m⊥n⇒α⊥βm\perp\alpha, n\subset\beta, m\perp n \Rightarrow \alpha\perp\beta
B.
α∥β\alpha\parallel\beta，m⊥αm\perp\alpha，n∥β⇒m⊥nn\parallel\beta \Rightarrow m\perp n
C.
α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，n∥β⇒m⊥nn\parallel\beta \Rightarrow m\perp n
D.
α⊥β\alpha\perp\beta，α∩β=m\alpha\cap\beta=m，n⊥m⇒n⊥βn\perp m \Rightarrow n\perp\beta

2006 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若 ll 为一条直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
① α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ⇒α⊥β\beta \perp \gamma \Rightarrow \alpha \perp \beta； ② α⊥γ\alpha \perp \gamma，β∥γ⇒α⊥β\beta \parallel \gamma \Rightarrow \alpha \perp \beta； ③ l⊥αl \perp \alpha，l⊥β⇒α⊥βl \perp \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta.
其中结论是（ ）
A.
00个
B.
11个
C.
22个
D.
33个

2006 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta，γ\gamma 为平面，mm，nn，ll 为直线，则 m⊥βm\perp\beta 的一个充分条件是（\quad）
A.
α⊥β, α∩β=l, m⊥l\alpha\perp\beta,\ \alpha\cap\beta=l,\ m\perp l
B.
α∩γ=m\alpha\cap\gamma=m， α⊥γ\ \alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma
C.
α⊥γ\alpha\perp\gamma， β⊥γ\ \beta\perp\gamma， m⊥α\ m\perp\alpha
D.
n⊥αn\perp\alpha， n⊥β\ n\perp\beta， m⊥α\ m\perp\alpha

2005 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta，γ\gamma 为平面，mm，nn，ll 为直线. 则 m⊥βm \perp \beta 的一个充分条件是（\quad）
A.
α⊥β,α∩β=l,m⊥l\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta = l, m \perp l
B.
α∩γ=m\alpha \cap \gamma = m，α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ\beta \perp \gamma
C.
α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥γ\beta \perp \gamma，m⊥αm \perp \alpha
D.
n⊥αn \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta，m⊥αm \perp \alpha

2005 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，在棱长为 22 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，OO 是底面 ABCDABCD 的中心，EE，FF 分别是 CC1CC_{1}，ADAD 的中点. 那么异面直线 OEOE 和 FD1FD_{1} 所成的角的余弦值等于（ ）
A.
105\frac{\sqrt{10}}{5}
B.
155\frac{\sqrt{15}}{5}
C.
45\frac{4}{5}
D.
25\frac{2}{5}

2004 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=6AB = 6，AD=4AD = 4，AA1=3AA_{1} = 3. 分别过 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V1=VAEA1−DFD1V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}，V2=VEBE1A1−FCF1D1V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}，V3=VB1E1B−C1F1CV_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}. 若 V1:V2:V3=1:4:1V_{1}: V_{2}: V_{3} = 1: 4: 1，则截面 A1EFD1A_{1}EFD_{1} 的面积为（ ）
A.
4104\sqrt{10}
B.
838\sqrt{3}
C.
4134\sqrt{13}
D.
1616

2004 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，定点 AA 和 BB 都在平面 α\alpha 内，定点 P∉αP\notin \alpha，PB⊥αPB \perp \alpha，CC 是 α\alpha 内异于 AA 和 BB 的动点，且 PC⊥ACPC \perp AC. 那么，动点 CC 在平面 α\alpha 内的轨迹是（ ）
\begin{solution} 在平面 α\alpha 内取 BB 为原点，令 BA→=a\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}，BC→=c\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}，并设 PB=h>0PB=h>0. 由于 PB⊥αPB\perp\alpha，向量 CP→\overrightarrow{CP} 的平面内分量为 −c-\boldsymbol{c}，而 CA→=a−c\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}. 条件 PC⊥ACPC\perp AC 给出 CP→⋅CA→=(−c)⋅(a−c)=0\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=(-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=0，即 c⋅(c−a)=0\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0.
配方得 ∣c−12a∣2=14∣a∣2\left|\boldsymbol{c}-\dfrac12\boldsymbol{a}\right|^2=\dfrac14\left|\boldsymbol{a}\right|^2. 因此 CC 在以 ABAB 为直径的圆上. 题设规定 CC 异于 AA 和 BB，所以要从该圆上去掉这两个点，故选 B. \end{solution}
A.
一条线段，但要去掉两个点
B.
一个圆，但要去掉两个点
C.
一个椭圆，但要去掉两个点
D.
半圆，但要去掉两个点

2004 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=6AB = 6，AD=4AD = 4，AA1=3AA_{1} = 3. 分别过 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V1=VAEA1−DFD1V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}，V2=VEBE1A1−FCF1D1V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}，V3=VB1E1B−C1F1CV_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}. 若 V1:V2:V3=1:4:1V_{1}:V_{2}:V_{3} = 1:4:1，则截面 A1EFD1A_{1}EFD_{1} 的面积为（ ）
\begin{solution} 在正视图 ABB1A1ABB_1A_1 中，设 AE=xAE=x. 两个截面平行，所以它们在正视图中的截线 A1EA_1E 与 BE1BE_1 平行；由两侧直角三角形的高都为 AA1=BB1=3AA_1=BB_1=3，可得 B1E1=AE=xB_1E_1=AE=x. 同理，在后视图中 DF=xDF=x，且 C1F1=xC_1F_1=x.
沿 ADAD 方向观察，三个部分的截面面积分别为两个全等直角三角形和中间剩余部分： S1=12⋅3x=3x2S_1=\dfrac12\cdot3x=\dfrac{3x}{2}， S3=3x2S_3=\dfrac{3x}{2}，S2=6⋅3−S1−S3=18−3xS_2=6\cdot3-S_1-S_3=18-3x. 三部分沿同一方向延伸长度 AD=4AD=4，所以体积比等于截面面积比. 由题意 3x2:(18−3x):3x2=1:4:1\dfrac{3x}{2}:\left(18-3x\right):\dfrac{3x}{2}=1:4:1，得 18−3x=4⋅3x2=6x18-3x=4\cdot\dfrac{3x}{2}=6x，所以 x=2x=2.
截面 A1EFD1A_1EFD_1 是以 AD=4AD=4 和 A1EA_1E 为两条互相垂直的边的矩形，且 A1E=AA12+AE2=32+22=13A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}. 因此其面积为 4134\sqrt{13}，故选 C. \end{solution}
A.
4104\sqrt{10}
B.
838\sqrt{3}
C.
4134\sqrt{13}
D.
1616

2004 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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