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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点，则（ ）
A.
平面 B1EF⊥平面 BDD1\text{平面 }B_1EF\perp \text{平面 }BDD_1
B.
平面 B1EF⊥平面 A1BD\text{平面 }B_1EF\perp \text{平面 }A_1BD
C.
平面 B1EF//平面 A1AC\text{平面 }B_1EF // \text{平面 }A_1AC
D.
平面 B1EF//平面 A1C1D\text{平面 }B_1EF // \text{平面 }A_1C_1D

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点，则（ ）
A.
平面 B1EF⊥B_1EF\perp 平面 BDD1BDD_1
B.
平面 B1EF⊥B_1EF\perp 平面 A1BDA_1BD
C.
平面 B1EF//B_1EF// 平面 A1ACA_1AC
D.
平面 B1EF//B_1EF// 平面 A1C1DA_1C_1D

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为 B1D1B_1D_1 的中点，则直线 PBPB 与 AD1AD_1 所成的角为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为 B1D1B_1D_1 的中点，则直线 PBPB 与 AD1AD_1 所成的角为（ ）
A.
π2\dfrac{\pi}{2}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
π4\dfrac{\pi}{4}
D.
π6\dfrac{\pi}{6}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1O_1，O2O_2，过直线 O1O2O_1O_2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 88 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A.
122π12\sqrt2\pi
B.
12π12\pi
C.
82π8\sqrt2\pi
D.
10π10\pi

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=BC=2AB=BC=2，AC1AC_1 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成的角为 30∘30^\circ，则该长方体的体积为（ ）
A.
88
B.
626\sqrt2
C.
828\sqrt2
D.
838\sqrt3

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是两条不同直线，α\alpha，β\beta 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
\begin{solution} 选项 A 不正确. 例如取 α:x=0\alpha:x=0、β:y=0\beta:y=0、公共平面为 z=0z=0，则 α\alpha 与 β\beta 都垂直于 z=0z=0，但二者相交而不平行.
选项 B 不正确. 取平面 π:z=0\pi:z=0，直线 m:y=0m:y=0，z=1z=1 与 n:x=0n:x=0，z=2z=2 都平行于 π\pi，但两直线方向不同，故不平行.
选项 C 不正确. 例如取 α:z=0\alpha:z=0、β:y=0\beta:y=0，两平面相交但直线 y=1y=1，z=0z=0 在 α\alpha 内且平行于 β\beta.
若两条直线都垂直于同一平面，则它们的方向都与该平面的法向量平行，从而两直线平行. 因此当 mm，nn 不平行时，它们不可能同时垂直于同一平面，选 D. \end{solution}
A.
若 α\alpha，β\beta 垂直于同一平面，则 α\alpha 与 β\beta 平行
B.
若 mm，nn 平行于同一平面，则 mm 与 nn 平行
C.
若 α\alpha，β\beta 不平行，则在 α\alpha 内不存在与 β\beta 平行的直线
D.
若 mm，nn 不平行，则 mm 与 nn 不可能垂直于同一平面

2015 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
\begin{solution} 根据三视图建立坐标系，可取四面体的四个顶点为 A=(0,0,1)A=(0,0,1)，B=(−1,0,0)B=(-1,0,0)，C=(1,0,0)C=(1,0,0)，D=(0,1,0)D=(0,1,0). 这与正视图、侧视图和俯视图中的长度及投影关系一致.
于是 AB=AC=AD=BD=CD=2AB=AC=AD=BD=CD=\sqrt{2}，BC=2BC=2. 三角形 ABCABC 和 BCDBCD 的底边均为 22，高均为 11，所以它们的面积均为 11. 三角形 ABDABD 和 ACDACD 都是边长为 2\sqrt{2} 的等边三角形，面积均为 34(2)2=32\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
因此四面体的表面积为
S=1+1+32+32=2+3S=1+1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}
故选 B. \end{solution}
A.
1+31 + \sqrt{3}
B.
2+32 + \sqrt{3}
C.
1+221 + 2\sqrt{2}
D.
222\sqrt{2}

2015 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 根据三视图建立直角坐标系，可取四面体的四个顶点为 A=(−1,0,0)A=(-1,0,0)、B=(1,0,0)B=(1,0,0)、C=(0,1,0)C=(0,1,0)、P=(0,0,1)P=(0,0,1). 在正视图中，AA，BB 的投影为底边两端，PP 的投影为顶点，CC 的投影为底边中点；在侧视图中，AA，BB 的投影重合，CC 与该投影的水平距离为 11，PP 与该投影的竖直距离为 11；俯视图也与上述坐标投影一致，因此该坐标模型与三视图一致.
由坐标可得 AB=2AB=2，且 AC=BC=AP=BP=CP=2AC=BC=AP=BP=CP=\sqrt2. 三角形 ABCABC 和 PABPAB 的底边都为 22，对应高都为 11，所以
SABC=SPAB=12×2×1=1S_{ABC}=S_{PAB}=\frac12\times2\times1=1
三角形 PACPAC 和 PBCPBC 的三边都为 2\sqrt2，均为等边三角形，故
SPAC=SPBC=34(2)2=32S_{PAC}=S_{PBC}=\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}{2}
所以四面体的表面积为
S=1+1+32+32=2+3S=1+1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=2+\sqrt3
因此应选 B. \end{solution}
A.
1+31 + \sqrt{3}
B.
2+32 + \sqrt{3}
C.
1+221 + 2\sqrt{2}
D.
222\sqrt{2}

2015 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
\begin{solution} 由三个视图可知，该多面体可看作边长为 22 的正方体分别截去两个相对顶点的角，两个截面都经过相应顶点三条棱的中点. 正方体原表面积为 6⋅22=246\cdot2^{2}=24. 每截去一个角，原来的三个直角三角形面积之和为 3⋅12⋅1⋅1=323\cdot\dfrac12\cdot1\cdot1=\dfrac32，新增截面为边长 2\sqrt{2} 的正三角形，面积为 34(2)2=32\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^{2}=\dfrac{\sqrt{3}}2. 因而截去两个角后表面积为 24−2⋅32+2⋅32=21+324-2\cdot\dfrac32+2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}2=21+\sqrt{3}，故选 A. \end{solution}
A.
21+321 + \sqrt{3}
B.
18+318 + \sqrt{3}
C.
2121
D.
1818

2014 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60∘60^{\circ} 的共有（ ）
\begin{solution} 正方体的六个面各有两条对角线，共有 1212 条. 按对角线所在面的坐标方向分类，可分为 xyxy、xzxz、yzyz 三类，每类有 44 条. 同一类中两条对角线的方向向量平行或垂直，所成角不是 60∘60^{\circ}. 不同类的两条对角线可分别取方向向量 (±1,±1,0)(\pm1,\pm1,0) 与 (±1,0,±1)(\pm1,0,\pm1) 等，它们的长度均为 2\sqrt{2}，内积的绝对值均为 11，故所成锐角的余弦为 12\dfrac{1}{2}，即为 60∘60^{\circ}. 三类中任取两类共有 C32\mathrm C_3^2 种，每种有 4⋅44\cdot4 对，所以共有 C32⋅4⋅4=48\mathrm C_3^2\cdot4\cdot4=48 对，故选 C. \end{solution}
A.
2424 对
B.
3030 对
C.
4848 对
D.
6060 对

2014 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
233\frac{23}{3}
B.
476\frac{47}{6}
C.
66
D.
77

2014 · 安徽 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
在下列命题中，不是公理的是（ ）
A.
平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2013 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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