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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 A−BCDA-BCD 中，DA=DB=DCDA=DB=DC，BD⊥CDBD\perp CD，∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB=\angle ADC=60^\circ，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 证明：BC⊥DABC\perp DA； (2) 点 FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}，求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB=\angle BDC，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：平面 BED⊥平面 ACD\text{平面 }BED\perp \text{平面 }ACD； (2) 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上. 当 △AFC\triangle AFC 面积最小时，求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠CDB\angle ADB=\angle CDB，EE 为 ACAC 的中点.
① 证明：平面 BED⊥BED\perp 平面 ACDACD；
② 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 F−ABCF-ABC 的体积.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，PD=DC=1PD=DC=1，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 求 BCBC； (2) 求二面角 A−PM−BA-PM-B 的正弦值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 证明：平面 PAM⊥PAM\perp 平面 PBDPBD； (2) 若 PD=DC=1PD=DC=1，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，AEAE 为底面直径，AE=ADAE=AD. △ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，PO=66DOPO=\dfrac{\sqrt{6}}{6}DO.
(1) 证明：PA⊥PA\perp 平面 PBCPBC； (2) 求二面角 B−PC−EB-PC-E 的余弦值.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 的中点，以 DFDF 为折痕把 △DFC\triangle DFC 折起，使点 CC 到达点 PP 的位置，且 PF⊥BFPF\perp BF.
(1) 证明：平面 PEF⊥PEF\perp 平面 ABFDABFD； (2) 求 DPDP 与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在多面体 A1B1D1DCBAA_{1}B_{1}D_{1}DCBA，四边形 AA1B1BAA_{1}B_{1}B，ADD1A1ADD_{1}A_{1}，ABCDABCD 均为正方形，EE 为 B1D1B_{1}D_{1} 的中点，过 A1A_{1}，DD，EE 的平面交 CD1CD_{1} 于 FF.
(1) 证明：EF∥B1CEF \parallel B_{1}C； (2) 求二面角 E−A1D−B1E - A_{1}D - B_{1} 的余弦值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设三个正方形的边长为 11，建立直角坐标系： A=(0,0,0)A=(0,0,0)， B=(0,1,0)\ B=(0,1,0)， C=(1,1,0)\ C=(1,1,0)， D=(1,0,0)\ D=(1,0,0)， A1=(0,0,1)A_1=(0,0,1)， B1=(0,1,1)\ B_1=(0,1,1)， D1=(1,0,1)\ D_1=(1,0,1). 因为 EE 是 B1D1B_1D_1 的中点，所以 E=(12,12,1)E=(\frac12,\frac12,1). 平面 A1DEA_1DE 的方程为
x−y+z=1x-y+z=1
设 F∈CD1F\in CD_1，则可写成 F=(1,1−t,t)F=(1,1-t,t). 代入平面方程得 2t=12t=1，故 F=(1,12,12)F=(1,\frac12,\frac12). 于是 EF→=(12,0,−12)=12(1,0,−1)\overrightarrow{EF}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)=\frac12(1,0,-1)，B1C→=(1,0,−1)\overrightarrow{B_1C}=(1,0,-1)， 所以 EF∥B1CEF\parallel B_1C.
\item 平面 A1DEA_1DE 的一个法向量为 n1=(1,−1,1)\boldsymbol{n}_1=(1,-1,1)，平面 B1A1DB_1A_1D 的一个法向量为 n2=(1,0,1)\boldsymbol{n}_2=(1,0,1). 设二面角的平面角为 θ\theta，则
cos⁡θ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=232=63\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|} =\frac{2}{\sqrt3\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，PA=1PA = 1，AB=1AB = 1，AC=2AC = 2，∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积； (2) 证明：在线段 PCPC 上存在点 MM，使得 AC⊥BMAC \perp BM，并求 PMMC\frac{PM}{MC} 的值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCDABCD. 四边形 ABCDABCD 为梯形，AD∥BCAD \parallel BC，且 AD=2BCAD = 2BC. 过 A1A_{1}，CC，DD 三点的平面记为 α\alpha，BB1BB_{1} 与 α\alpha 的交点为 QQ.
(1) 证明：QQ 为 BB1BB_{1} 的中点； (2) 求此四棱柱被平面 α\alpha 所分成上下两部分的体积之比； (3) 若 A1A=4A_{1}A = 4，CD=2CD = 2，梯形 ABCDABCD 的面积为 6，求平面 α\alpha 与底面 ABCDABCD 所成二面角的大小.

2014 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面是边长为 88 的正方形，四条侧棱长均为 2172\sqrt{17}，点 GG，EE，FF，HH 分别是棱 PBPB，ABAB，CDCD，PCPC 上共面的四点，平面 GEFH⊥GEFH \perp 平面 ABCDABCD，BC∥BC \parallel 平面 GEFHGEFH.
(1) 证明：GH∥EFGH \parallel EF； (2) 若 EB=2EB = 2，求四边形 GEFHGEFH 的面积.

2014 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，圆锥顶点为 PP. 底面圆心为 OO，其母线与底面所成的角为 22.5∘22.5^{\circ}. ABAB 和 CDCD 是底面圆 OO 上的两条平行的弦，轴 OPOP 与平面 PCDPCD 所成的角为 60∘60^{\circ}.
(1) 证明：平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 的交线平行于底面； (2) 求 cos⁡∠COD\cos\angle COD.

2013 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面 ABCDABCD 是边长为 22 的菱形，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}. 已知 PB=PD=2PB = PD = 2，PA=6PA = \sqrt{6}.
(1) 证明： PC⊥BDPC \perp BD； (2) 若 EE 为 PAPA 的中点，求三棱锥 P−BCEP - BCE 的体积.

2013 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
平面图形 ABB1A1C1CABB_{1}A_{1}C_{1}C 如图1所示，其中 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 是矩形，BC=2BC = 2，BB1=4BB_{1} = 4，AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}，A1B1=A1C1=5A_{1}B_{1} = A_{1}C_{1} = \sqrt{5}. 现将该平面图形分别沿 BCBC 和 B1C1B_{1}C_{1} 折叠，使 △ABC\triangle ABC 与 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 所在平面都与平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 垂直，再分别连接 A1AA_{1}A，A1BA_{1}B，A1C1A_{1}C_{1} 得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.
(1) 证明： AA1⊥BCAA_{1} \perp BC. (2) 求 AA1AA_{1} 的长. (3) 求二面角 A−BC−A1A - BC - A_{1} 的余弦值.

2012 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是正方形，OO 是 BDBD 的中点，EE 是棱 AA1AA_{1} 上任意一点.
(1) 证明： BD⊥EC1BD \perp EC_{1}； (2) 如果 AB=2AB = 2，AE=2AE = \sqrt{2}，OE⊥EC1OE \perp EC_1，求 AA1AA_1 的长.

2012 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，ABEDFCABEDFC 为多面体，平面 ABEDABED 与平面 ACFDACFD 垂直，点 OO 在线段 ADAD 上，OA=1OA = 1，OD=2OD = 2，△OAB\triangle OAB，△OAC\triangle OAC，△ODE\triangle ODE，△ODF\triangle ODF 都是正三角形.
(1) 证明直线 BC∥EFBC \parallel EF； (2) 求棱锥 F−OBEDF-OBED 的体积.

2011 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，ABEDFCABEDFC 为多面体，平面 ABEDABED 与平面 ACFDACFD 垂直，点 OO 在线段 ADAD 上，OA=1OA = 1，OD=2OD = 2，△OAB\triangle OAB，△OAC\triangle OAC，△ODE\triangle ODE，△ODF\triangle ODF 都是正三角形.
(1) 证明直线 BC∥EFBC \parallel EF； (2) 求棱锥 F−OBEDF - OBED 的体积.

2011 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在多面体 ABCDEFABCDEF 中，四边形 ABCDABCD 是正方形，EF∥ABEF \parallel AB，EF⊥FBEF \perp FB，AB=2EFAB = 2EF，∠BFC=90∘\angle BFC = 90^\circ，BF=FCBF = FC，HH 为 BCBC 的中点.
(1) 求证： FH∥FH \parallel 平面 EDBEDB； (2) 求证： AC⊥AC \perp 平面 EDBEDB； (3) 求二面角 B−DE−CB - DE - C 的大小.

2010 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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