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106分立体几何初步★★★★☆
在空间中，AA，BB 为两个定点，动点 CC 到直线 ABAB 的距离为 22，动点 DD 到直线 ABAB 的距离为 11，若二面角 C−AB−DC-AB-D 为 60∘60^\circ，则（ ）
A.
∠CAD≥60∘\angle CAD\ge 60^\circ
B.
CD≥3CD\ge \sqrt{3}
C.
当 AB⊥CDAB\perp CD 时，CD⊥平面ABDCD\perp \text{平面} ABD
D.
当 AB⊥平面ACDAB\perp \text{平面} ACD 时，AC⊥ADAC\perp AD

2026 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分立体几何初步★★★☆☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，DD 为 BCBC 中点，则（ ）
A.
AD⊥A1CAD \perp A_1C
B.
B1C1⊥平面AA1DB_1C_1 \perp \text{平面} AA_1D
C.
AD∥A1B1AD \parallel A_1B_1
D.
CC1∥平面AA1DCC_1 \parallel \text{平面} AA_1D

2025 · 全国 · 一卷 · 第 9 题 · 多选题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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126分立体几何初步★★★★☆
下列物体中，能够被整体放入棱长为 11（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A.
直径为 0.99m0.99\text{m} 的球体
B.
所有棱长均为 1.4m1.4\text{m} 的正四面体
C.
底面直径为 0.01m0.01\text{m}，高为 1.8m1.8\text{m} 的圆柱体
D.
底面直径为 1.2m1.2\text{m}，高为 0.01m0.01\text{m} 的圆柱体

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，A1B1=1A_1B_1=1，AA1=2AA_1=\sqrt2，则该棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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045分立体几何初步★★☆☆☆
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔 148.5m148.5\text{m} 时，相应水面的面积为 140.0km2140.0\text{km}^2；水位为海拔 157.5m157.5\text{m} 时，相应水面的面积为 180.0km2180.0\text{km}^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m148.5\text{m} 上升到 157.5m157.5\text{m} 时，增加的水量约为（7≈2.65\sqrt7\approx 2.65）（ ）
A.
1.0×109m31.0\times 10^9\text{m}^3
B.
1.2×109m31.2\times 10^9\text{m}^3
C.
1.4×109m31.4\times 10^9\text{m}^3
D.
1.6×109m31.6\times 10^9\text{m}^3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，则（ ）
A.
直线 BC1BC_1 与 DA1DA_1 所成的角为 90∘90^\circ
B.
直线 BC1BC_1 与 CA1CA_1 所成的角为 90∘90^\circ
C.
直线 BC1BC_1 与平面 BB1D1DBB_1D_1D 所成的角为 45∘45^\circ
D.
直线 BC1BC_1 与平面 ABCDABCD 所成的角为 45∘45^\circ

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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035分立体几何初步★☆☆☆☆
已知圆锥的底面半径为 2\sqrt{2}，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.
22
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
424\sqrt{2}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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126分立体几何初步★★★★☆
在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB=AA1=1AB=AA_1=1，点 PP 满足 BP→=λBC→+μBB1→\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}，其中 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，μ∈[0,1]\mu\in[0,1]，则（ ）
A.
当 λ=1\lambda=1 时，△AB1P\triangle AB_1P 的周长为定值
B.
当 μ=1\mu=1 时，三棱锥 P−A1BCP-A_1BC 的体积为定值
C.
当 λ=12\lambda=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1P⊥BPA_1P\perp BP
D.
当 μ=12\mu=\frac{1}{2} 时，有且仅有一个点 PP，使得 A1B⊥A_1B\perp 平面 AB1PAB_1P

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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045分立体几何初步★★★☆☆
日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间. 把地球看成一个球（球心记为 OO），地球上一点 AA 的纬度是指 OAOA 与地球赤道所在平面所成角，点 AA 处的水平面是指过点 AA 且与 OAOA 垂直的平面. 在点 AA 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 AA 处的纬度为北纬 40∘40^\circ，则晷针与点 AA 处的水平面所成角为（ ）
A.
20∘20^\circ
B.
40∘40^\circ
C.
50∘50^\circ
D.
90∘90^\circ

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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165分立体几何初步★★★★☆
已知直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长均为 2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. 以 D1D_1 为球心，5\sqrt{5} 为半径的球面与侧面 BCC1B1BCC_1B_1 的交线长为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面为正方形，PD⊥PD\perp底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值的最大值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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