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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面为正方形，PD⊥PD\perp底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值的最大值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 的中点，以 DFDF 为折痕把 △DFC\triangle DFC 折起，使点 CC 到达点 PP 的位置，且 PF⊥BFPF\perp BF.
(1) 证明：平面 PEF⊥PEF\perp 平面 ABFDABFD； (2) 求 DPDP 与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCDABCD（及其内部）以 ABAB 边所在直线为旋转轴旋转 120∘120^\circ 得到的，GG 是 DF⌢\overset{\frown}{DF} 的中点.
(1) 设 PP 是 CE⌢\overset{\frown}{CE} 上的一点，且 AP⊥BEAP\perp BE，求 ∠CBP\angle CBP 的大小； (2) 当 AB=3AB=3，AD=2AD=2 时，求二面角 E−AG−CE-AG-C 的大小.

2017 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
由四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 截去三棱锥 C1−B1CD1C_1-B_1CD_1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCDABCD 为正方形，OO 为 ACAC 与 BDBD 的交点，EE 为 ADAD 的中点，A1E⊥A_1E\perp 平面 ABCDABCD.
(1) 证明：A1O∥A_1O\parallel 平面 B1CD1B_1CD_1； (2) 设 MM 是 ODOD 的中点，证明：平面 A1EM⊥A_1EM\perp 平面 B1CD1B_1CD_1.

2017 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
在如图所示的圆台中，ACAC 是下底面圆 OO 的直径，EFEF 是上底面圆 O′O' 的直径，FBFB 是圆台的一条母线.
(1) 已知 GG，HH 分别为 ECEC，FBFB 的中点，求证：GH∥平面 ABCGH\parallel\text{平面 }ABC； (2) 已知 EF=FB=12AC=23EF=FB=\dfrac12AC=2\sqrt3，AB=BCAB=BC，求二面角 F−BC−AF-BC-A 的余弦值.

2016 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的几何体中，DD 是 ACAC 的中点，EF∥DBEF\parallel DB.
(1) 已知 AB=BCAB=BC，AE=ECAE=EC. 求证：AC⊥FBAC\perp FB； (2) 已知 GG，HH 分别是 ECEC 和 FBFB 的中点. 求证：GH∥GH\parallel 平面 ABCABC.

2016 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 DEF−ABCDEF - ABC 中，AB=2DEAB = 2DE，GG，HH 分别为 ACAC，BCBC 的中点.
(1) 求证：BD∥BD \parallel 平面 FGHFGH； (2) 若 CF⊥CF \perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB \perp BC，CF=DECF = DE，∠BAC=45∘\angle BAC = 45^{\circ}，求平面 FGHFGH 与平面 ACFDACFD 所成的角（锐角）的大小.

2015 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 DEF−ABCDEF - ABC 中，AB=2DEAB = 2DE，GG，HH 分别为 ACAC，BCBC 的中点.
(1) 求证：BD∥BD \parallel 平面 FGHFGH； (2) 若 CF⊥BCCF \perp BC，AB⊥BCAB \perp BC，求证：平面 BCD⊥BCD \perp 平面 EGHEGH.

2015 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，底面 ABCDABCD 是等腰梯形，∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，AB=2CD=2AB = 2CD = 2，MM 是线段 ABAB 的中点.
(1) 求证：C1M∥C_{1}M \parallel 平面 A1ADD1A_{1}ADD_{1}； (2) 若 CD1CD_{1} 垂直于平面 ABCDABCD 且 CD1=3CD_{1} = \sqrt{3}，求平面 C1D1MC_{1}D_{1}M 和平面 ABCDABCD 所成的角（锐角）的余弦值.

2014 · 山东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，AP⊥AP \perp 平面 PCDPCD，AD∥BCAD \parallel BC，AB=BC=12ADAB = BC = \frac{1}{2} AD，EE，FF 分别为线段 ADAD，PCPC 的中点.
(1) 求证：AP∥AP \parallel 平面 BEFBEF； (2) 求证：BE⊥BE \perp 平面 PACPAC.

2014 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图所示，在三棱锥 P−ABQP - ABQ 中，PB⊥PB \perp 平面 ABQABQ，BA=BP=BQBA = BP = BQ，DD，CC，EE，FF 分别是 AQAQ，BQBQ，APAP，BPBP 的中点，AQ=2BDAQ = 2BD，PDPD 与 EQEQ 交于点 GG，PCPC 与 FQFQ 交于点 HH，连接 GHGH.
(1) 求证：AB∥GHAB \parallel GH； (2) 求二面角 D−GH−ED - GH - E 的余弦值.

2013 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，AB⊥ACAB \perp AC，AB⊥PAAB \perp PA，AB∥CDAB \parallel CD，AB=2CDAB = 2CD，EE，FF，GG，MM，NN 分别为 PBPB，ABAB，BCBC，PDPD，PCPC 的中点.
(1) 求证：CE∥CE \parallel 平面 PADPAD； (2) 求证：平面 EFG⊥EFG \perp 平面 EMNEMN.

2013 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的几何体中，四边形 ABCDABCD 是等腰梯形，AB∥CDAB \parallel CD，∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，FC⊥FC \perp 平面 ABCDABCD，AE⊥BDAE \perp BD，CB=CD=CFCB = CD = CF.
(1) 求证： BD⊥BD \perp 平面 AEDAED； (2) 求二面角 F−BD−CF - BD - C 的余弦值.

2012 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，几何体 E−ABCDE-ABCD 是四棱锥，△ABD\triangle ABD 为正三角形，CB=CDCB=CD，EC⊥BDEC\perp BD.
(1) 求证：BE=DEBE=DE； (2) 若 ∠BCD=120∘\angle BCD=120^{\circ}，MM 为线段 AEAE 的中点，求证：DM∥DM\parallel 平面 BECBEC.

2012 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的几何体中，四边形 ABCDABCD 为平行四边形，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，EA⊥EA \perp 平面 ABCDABCD，EF∥ABEF \parallel AB，FG∥BCFG \parallel BC，EG∥ACEG \parallel AC，AB=2EFAB = 2EF.
(1) 若 MM 是线段 ADAD 的中点，求证：GM∥GM \parallel 平面 ABFEABFE； (2) 若 AC=BC=2AEAC = BC = 2AE，求二面角 A−BF−CA - BF - C 的大小.

2011 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，D1D⊥D_{1}D \perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 是平行四边形，AB=2ADAB = 2AD，AD=A1B1AD = A_{1}B_{1}，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}.
(1) 证明： AA1⊥BDAA_{1} \perp BD. (2) 证明：CC1∥CC_{1} \parallel 平面 A1BDA_{1}BD.

2011 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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