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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知棱台的上，下底面均是有一个内角为 60∘60^\circ 的菱形，上，下底面的边长分别为 22，33，该棱台的高为 3\sqrt{3}，则其体积为（ ）
A.
1912\frac{19}{12}
B.
196\frac{19}{6}
C.
194\frac{19}{4}
D.
192\frac{19}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 5 题 · 选择题

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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，平面四边形 ABCDABCD 中，AB=8AB=8，CD=3CD=3，AD=53AD=5\sqrt3，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ，点 EE，FF 满足 AE→=25AD→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}，AF→=12AB→\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 对折至 △PEF\triangle PEF，使得 PC=43PC=4\sqrt3.
(1) 证明：EF⊥PDEF\perp PD； (2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成二面角的正弦值.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，ABAB 为底面直径，∠APB=120∘\angle APB=120^\circ，PA=2PA=2，点 CC 在底面圆周上，且二面角 P−AC−OP-AC-O 为 45∘45^\circ，则（ ）
A.
该圆锥的体积为 π\pi
B.
该圆锥的侧面积为 43π4\sqrt3\pi
C.
AC=22AC=2\sqrt2
D.
△PAC\triangle PAC 的面积为 3\sqrt3

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 44 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 22，高为 33 的正四棱锥，所得棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 A−BCDA-BCD 中，DA=DB=DCDA=DB=DC，BD⊥CDBD\perp CD，∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB=\angle ADC=60^\circ，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 证明：BC⊥DABC\perp DA； (2) 点 FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}，求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点，则（ ）
A.
平面 B1EF⊥平面 BDD1\text{平面 }B_1EF\perp \text{平面 }BDD_1
B.
平面 B1EF⊥平面 A1BD\text{平面 }B_1EF\perp \text{平面 }A_1BD
C.
平面 B1EF//平面 A1AC\text{平面 }B_1EF // \text{平面 }A_1AC
D.
平面 B1EF//平面 A1C1D\text{平面 }B_1EF // \text{平面 }A_1C_1D

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB=\angle BDC，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：平面 BED⊥平面 ACD\text{平面 }BED\perp \text{平面 }ACD； (2) 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上. 当 △AFC\triangle AFC 面积最小时，求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE，FF 分别为 ABAB，BCBC 的中点，则（ ）
A.
平面 B1EF⊥B_1EF\perp 平面 BDD1BDD_1
B.
平面 B1EF⊥B_1EF\perp 平面 A1BDA_1BD
C.
平面 B1EF//B_1EF// 平面 A1ACA_1AC
D.
平面 B1EF//B_1EF// 平面 A1C1DA_1C_1D

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠CDB\angle ADB=\angle CDB，EE 为 ACAC 的中点.
① 证明：平面 BED⊥BED\perp 平面 ACDACD；
② 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 F−ABCF-ABC 的体积.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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05立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为 B1D1B_1D_1 的中点，则直线 PBPB 与 AD1AD_1 所成的角为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π6\frac{\pi}{6}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
以图 \circled1\circled{1} 为正视图，在图 \circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5} 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，PD=DC=1PD=DC=1，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 求 BCBC； (2) 求二面角 A−PM−BA-PM-B 的正弦值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★☆☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，PP 为 B1D1B_1D_1 的中点，则直线 PBPB 与 AD1AD_1 所成的角为（ ）
A.
π2\dfrac{\pi}{2}
B.
π3\dfrac{\pi}{3}
C.
π4\dfrac{\pi}{4}
D.
π6\dfrac{\pi}{6}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
以图①为正视图，在图②，③，④，⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是矩形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，MM 为 BCBC 的中点，且 PB⊥AMPB\perp AM.
(1) 证明：平面 PAM⊥PAM\perp 平面 PBDPBD； (2) 若 PD=DC=1PD=DC=1，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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03立体几何初步★★☆☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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