数迹
题目列表试卷列表
共找到 40 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
15立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB⊥ACAB\perp AC，B1C⊥B_1C\perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 ACAC，B1CB_1C 的中点.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 AB1C1AB_1C_1； (2) 求证：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 ABB1ABB_1.

2020 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，已知 CB=CD=5CB=CD=\sqrt5，BD=2BD=2，OO 为 BDBD 的中点，AO⊥AO\perp 平面 BCDBCD，AO=2AO=2，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 求直线 ABAB 与 DEDE 所成角的余弦值； (2) 若点 FF 在 BCBC 上，满足 BF=14BCBF=\dfrac14BC，设二面角 F−DE−CF-DE-C 的大小为 θ\theta，求 sin⁡θ\sin\theta 的值.

2020 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别为 BCBC，ACAC 的中点，AB=BCAB=BC.
求证：
(1) A1B1∥A_1B_1\parallel 平面 DEC1DEC_1； (2) BE⊥C1EBE\perp C_1E.

2019 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
15立体几何初步★★★☆☆
在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AA1=ABAA_1=AB，AB1⊥B1C1AB_1\perp B_1C_1. 求证：
(1) AB∥AB\parallel 平面 A1B1CA_1B_1C； (2) 平面 ABB1A1⊥ABB_1A_1\perp 平面 A1BCA_1BC.

2018 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB=AA1=2AB=AA_1=2，点 PP，QQ 分别为 A1B1A_1B_1，BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 BPBP 与 AC1AC_1 所成角的余弦值； (2) 求直线 CC1CC_1 与平面 AQC1AQC_1 所成角的正弦值.

2018 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
15立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，AB⊥ADAB\perp AD，BC⊥BDBC\perp BD，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，点 EE，FF（EE 与 AA，DD 不重合）分别在棱 ADAD，BDBD 上，且 EF⊥ADEF\perp AD.
求证：
(1) EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) AD⊥ACAD\perp AC.

2017 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★★☆
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 II 和正四棱台形玻璃容器 IIII 的高均为 32 cm32\text{ cm}，容器 II 的底面对角线 ACAC 的长为 107 cm10\sqrt7\text{ cm}，容器 IIII 的两底面对角线 EGEG，E1G1E_1G_1 的长分别为 14 cm14\text{ cm} 和 62 cm62\text{ cm}. 分别在容器 II 和容器 IIII 中注入水，水深均为 12 cm12\text{ cm}. 现有一根玻璃棒 ll，其长度为 40 cm40\text{ cm}. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1) 将 ll 放在容器 II 中，ll 的一端置于点 AA 处，另一端置于侧棱 CC1CC_1 上，求 ll 没入水中部分的长度； (2) 将 ll 放在容器 IIII 中，ll 的一端置于点 EE 处，另一端置于侧棱 GG1GG_1 上，求 ll 没入水中部分的长度.

2017 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
21解析几何★★☆☆☆
如图，ABAB 为半圆 OO 的直径，直线 PCPC 切半圆 OO 于点 CC，AP⊥PCAP\perp PC，PP 为垂足. 求证：
(1) ∠PAC=∠CAB\angle PAC=\angle CAB； (2) AC2=AP⋅ABAC^2=AP\cdot AB.

2017 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AA1⊥AA_1\perp 平面 ABCDABCD，且 AB=AD=2AB=AD=2，AA1=3AA_1=\sqrt3，∠BAD=120∘\angle BAD=120^\circ.
(1) 求异面直线 A1BA_1B 与 AC1AC_1 所成角的余弦值； (2) 求二面角 B−A1D−AB-A_1D-A 的正弦值.

2017 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别为 ABAB，BCBC 的中点，点 FF 在侧棱 B1BB_1B 上，且 B1D⊥A1FB_1D\perp A_1F，A1C1⊥A1B1A_1C_1\perp A_1B_1. 求证：
(1) 直线 DE∥DE\parallel 平面 A1C1FA_1C_1F； (2) 平面 B1DE⊥B_1DE\perp 平面 A1C1FA_1C_1F.

2016 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P−A1B1C1D1P-A_1B_1C_1D_1，下部的形状是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1（如图所示），并要求正四棱柱的高 O1OO_1O 是正四棱锥的高 PO1PO_1 的 44 倍.
(1) 若 AB=6 mAB=6\text{ m}，PO1=2 mPO_1=2\text{ m}，则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m6\text{ m}，则当 PO1PO_1 为多少时，仓库的容积最大？

2016 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，已知 AC⊥BCAC \perp BC，BC=CC1BC = CC_1，设 AB1AB_1 的中点为 DD，B1C∩BC1=EB_1C \cap BC_1 = E. 求证：
(1) DE∥DE \parallel 平面 AA1C1CAA_1C_1C； (2) BC1⊥AB1BC_1 \perp AB_1.

2015 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
21立体几何初步★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB = AC，△ABC\triangle ABC 的外接圆 ⊙O\odot O 的弦 AEAE 交 BCBC 于点 DD. 求证：△ABD∼△AEB\triangle ABD \sim \triangle AEB.

2015 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，已知 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，且四边形 ABCDABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2\angle ABC = \angle BAD = \dfrac{\pi}{2}，PA=AD=2PA = AD = 2，AB=BC=1AB = BC = 1.
(1) 求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 所成二面角的余弦值； (2) 点 QQ 是线段 BPBP 上的动点. 当直线 CQCQ 与 DPDP 所成的角最小时，求线段 BQBQ 的长.

2015 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，DD，EE，FF 分别为棱 PCPC，ACAC，ABAB 的中点. 已知 PA⊥ACPA \perp AC，PA=6PA = 6，BC=8BC = 8，DF=5DF = 5.
(1) 求证：直线 PA∥PA \parallel 平面 DEFDEF； (2) 平面 BDE⊥BDE \perp 平面 ABCABC.

2014 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
21立体几何初步★★☆☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，CC，DD 是圆 OO 上位于 ABAB 异侧的两点，证明： ∠OCB=∠D\angle OCB = \angle D.

2014 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，平面 SAB⊥SAB\perp 平面 SBCSBC，AB⊥BCAB\perp BC，AS=ABAS=AB. 过 AA 作 AF⊥SBAF\perp SB，垂足为 FF，点 EE，GG 分别是棱 SASA，SCSC 的中点. 求证：
(1) 平面 EFG∥EFG\parallel 平面 ABCABC； (2) BC⊥SABC\perp SA.

2013 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 A1B1C1−ABCA_1B_1C_1-ABC 中，AB⊥ACAB\perp AC，AB=AC=2AB=AC=2，A1A=4A_1A=4，点 DD 是 BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 A1BA_1B 与 C1DC_1D 所成角的余弦值； (2) 求平面 ADC1ADC_1 与平面 ABA1ABA_1 所成二面角的正弦值.

2013 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，A1B1=A1C1A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}，DD，EE 分别是棱 BCBC，CC1CC_{1} 上的点（点 DD 不同于点 CC），且 AD⊥DEAD \perp DE，FF 为 B1C1B_{1}C_{1} 的中点. 求证：
(1) 平面 ADE⊥ADE \perp 平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1}； (2) 直线 A1F∥A_{1}F \parallel 平面 ADEADE.

2012 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析