如图，正方体
ABCD−A1B1C1D1 的棱长为
1，过点
A 作平面
A1BD 的垂线，垂足为点
H. 有下列四个命题：
① 点
H 是
△A1BD 的垂心；
②
AH⊥ 平面
CB1D1；
③ 二面角
C−B1D1−C1 的正切值为
2；
④ 点
H 到平面
A1B1C1D1 的距离为
43.
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）
\begin{answer}
A、B、C
\end{answer}
\begin{solution}
建立空间直角坐标系，取
A1(0,0,0)，
B1(1,0,0)，
C1(1,1,0)，
D1(0,1,0)
并令
A(0,0,1)，
B(1,0,1)，
C(1,1,1)，
D(0,1,1).
平面
A1BD 的方程为
z=x+y，其一个法向量为
(−1,−1,1). 从点
A 向该平面作垂线，垂足为
H=A−(−1)2+(−1)2+121(−1,−1,1)=(31,31,32) 先验证命题 A. 三角形
A1BD 的三条边方向向量可取
BD=(−1,1,0)、
A1D=(0,1,1) 和
A1B=(1,0,1). 有
A1H=(31,31,32)，
BH=(−32,31,−31)，
DH=(31,−32,−31).
于是
A1H⋅BD=0，
BH⋅A1D=0，
DH⋅A1B=0.
故
H 同时在三条高上，是
△A1BD 的垂心，命题 A 正确.
再验证命题 B. 平面
CB1D1 内的两个不共线方向向量可取
B1D1=(−1,1,0) 和
B1C=(0,1,1)，其法向量可取
(1,1,−1). 而
AH=(31,31,−31)
与该法向量平行，所以
AH⊥ 平面
CB1D1，命题 B 正确.
验证命题 C. 二面角
C−B1D1−C1 是平面
CB1D1 与平面
C1B1D1 所成的角. 两个平面的法向量可分别取
n1=(1,1,−1) 和
n2=(0,0,1). 设二面角的锐角为
φ，则
cosφ=∣n1∣∣n2∣∣n1⋅n2∣=31
从而
tanφ=cosφ1−cos2φ=3132=2
故命题 C 正确.
最后，平面
A1B1C1D1 的方程为
z=0，所以点
H 到该平面的距离为
32=43
所以命题 D 错误，前三个命题为真，结论与填空处一致.
\end{solution}
