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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知 ABCDABCD 和 CDEFCDEF 都是直角梯形，AB∥DCAB\parallel DC，DC∥EFDC\parallel EF，AB=5AB=5，DC=3DC=3，EF=1EF=1，∠BAD=∠CDE=60∘\angle BAD=\angle CDE=60^\circ，二面角 F−DC−BF-DC-B 的平面角为 60∘60^\circ. 设 MM，NN 分别为 AEAE，BCBC 的中点.
(1) 证明：FN⊥ADFN\perp AD； (2) 求直线 BMBM 与平面 ADEADE 所成角的正弦值.

2022 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ， AB=1AB=1，BC=4BC=4，PA=15PA=\sqrt{15}. 设 MM，NN 分别为 BCBC，PCPC 中点，PD⊥DCPD\perp DC，PM⊥MDPM\perp MD.
(1) 证明：AB⊥PMAB\perp PM； (2) 求直线 ANAN 与平面 PDMPDM 所成角的正弦值.

2021 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱台 DEF−ABCDEF-ABC 中，面 ADFC⊥ADFC\perp 面 ABCABC，∠ACB=∠ACD=45∘\angle ACB=\angle ACD=45^\circ，DC=2BCDC=2BC.
(1) 证明：EF⊥DBEF\perp DB； (2) 求 DFDF 与面 DBCDBC 所成角的正弦值.

2020 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，平面 A1AC1C⊥A_1AC_1C\perp 平面 ABCABC，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ，A1A=A1C=ACA_1A=A_1C=AC，EE，FF 分别是 ACAC，A1B1A_1B_1 的中点.
(1) 证明：EF⊥BCEF\perp BC； (2) 求直线 EFEF 与平面 A1BCA_1BC 所成角的余弦值.

2019 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知多面体 ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1，A1AA_1A，B1BB_1B，C1CC_1C 均垂直于平面 ABCABC，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ，A1A=4A_1A=4，C1C=1C_1C=1，AB=BC=B1B=2AB=BC=B_1B=2.
(1) 证明：AB1⊥AB_1\perp 平面 A1B1C1A_1B_1C_1； (2) 求直线 AC1AC_1 与平面 ABB1ABB_1 所成的角的正弦值.

2018 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD，△PAD\triangle PAD 是以 ADAD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥ADBC\parallel AD，CD⊥ADCD\perp AD，PC=AD=2DC=2CBPC=AD=2DC=2CB，EE 为 PDPD 的中点.
(1) 证明：CE∥CE\parallel 平面 PABPAB； (2) 求直线 CECE 与平面 PBCPBC 所成角的正弦值.

2017 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱台 ABC−DEFABC-DEF 中，已知平面 BCFE⊥BCFE\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，BE=EF=FC=1BE=EF=FC=1，BC=2BC=2，AC=3AC=3.
(1) 求证：BF⊥BF\perp 平面 ACFDACFD； (2) 求二面角 B−AD−FB-AD-F 的平面角的余弦值.

2016 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱台 ABC−DEFABC-DEF 中，平面 BCFE⊥BCFE\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，BE=EF=FC=1BE=EF=FC=1，BC=2BC=2，AC=3AC=3.
(1) 求证：BF⊥BF\perp 平面 ACFDACFD； (2) 求直线 BDBD 与平面 ACFDACFD 所成角的余弦值.

2016 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}，AB=AC=2AB = AC = 2，A1A=4A_{1}A = 4，A1A_{1} 在底面 ABCABC 的射影为 BCBC 的中点，DD 是 B1C1B_{1}C_{1} 的中点.
(1) 证明： A1D⊥A_{1}D \perp 平面 A1BCA_{1}BC； (2) 求二面角 A1−BD−B1A_{1} - BD - B_{1} 的平面角的余弦值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ，AB=AC=2AB=AC=2，A1A=4A_1A=4，A1A_1 在底面 ABCABC 的射影为 BCBC 的中点，DD 是 B1C1B_1C_1 的中点.
(1) 证明：A1D⊥A_1D\perp 平面 A1BCA_1BC； (2) 求直线 A1BA_1B 和平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成的角的正弦值.

2015 · 浙江 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−BCDEA - BCDE 中，平面 ABC⊥ABC \perp 平面 BCDEBCDE，∠CDE=∠BED=90∘\angle CDE = \angle BED = 90^\circ，AB=CD=2AB = CD = 2，DE=BE=1DE = BE = 1，AC=2AC = \sqrt{2}.
(1) 证明：DE⊥DE \perp 平面 ACDACD； (2) 求二面角 B−AD−EB - AD - E 的大小.

2014 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−BCDEA - BCDE 中，平面 ABC⊥ABC \perp 平面 BCDEBCDE，∠CDE=∠BED=90∘\angle CDE = \angle BED = 90^\circ，AB=CD=2AB = CD = 2，DE=BE=1DE = BE = 1，AC=2AC = \sqrt{2}.
(1) 证明：AC⊥AC \perp 平面 BCDEBCDE； (2) 求直线 AEAE 与平面 ABCABC 所成的角的正切值.

2014 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在四面体 A−BCDA - BCD 中，AD⊥AD \perp 平面 BCDBCD，BC⊥CDBC \perp CD，AD=2AD = 2，BD=22BD = 2\sqrt{2}. MM 是 ADAD 的中点，PP 是 BMBM 的中点，点 QQ 在线段 ACAC 上，且 AQ=3QCAQ = 3QC.
(1) 证明： PQ∥PQ\parallel 平面 BCDBCD； (2) 若二面角 C−BM−DC - BM - D 的大小为 60∘60^{\circ}，求 ∠BDC\angle BDC 的大小.

2013 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，AB=BC=2AB = BC = 2，AD=CD=7AD = CD = \sqrt{7}，PA=3PA = \sqrt{3}，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circ，GG 为线段 PCPC 上的点.
(1) 证明：BD⊥BD \perp 平面 APCAPC； (2) 若 GG 为 PCPC 的中点，求 DGDG 与平面 APCAPC 所成的角的正切值； (3) 若 GG 满足 PC⊥PC \perp 平面 BGDBGD，求 PGGC\frac{PG}{GC} 的值.

2013 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面是边长为 232\sqrt{3} 的菱形，∠BAD=120∘\angle BAD = 120^{\circ}，且 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，PA=26PA = 2\sqrt{6}，MM，NN 分别为 PBPB，PDPD 的中点.
(1) 证明： MN∥MN \parallel 平面 ABCDABCD； (2) 过点 AA 作 AQ⊥PCAQ \perp PC，垂足为点 QQ，求二面角 A−MN−QA - MN - Q 的平面角的余弦值.

2012 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AD∥BCAD \parallel BC，AD⊥ABAD \perp AB，AB=2AB = \sqrt{2}，AD=2AD = 2，BC=4BC = 4，AA1=2AA_{1} = 2，EE 是 DD1DD_{1} 的中点，FF 是平面 B1C1EB_{1}C_{1}E 与直线 AA1AA_{1} 的交点.
(1) 证明：
(i) EF∥A1D1EF \parallel A_{1}D_{1}； (ii) BA1⊥BA_{1} \perp 平面 B1C1EFB_{1}C_{1}EF. (2) 求 BC1BC_{1} 与平面 B1C1EFB_{1}C_{1}EF 所成的角的正弦值.

2012 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，AB=ACAB = AC，DD 为 BCBC 的中点，PO⊥PO \perp 平面 ABCABC，垂足 OO 落在线段 ADAD 上，已知 BC=8BC = 8，PO=4PO = 4，AO=3AO = 3，OD=2OD = 2.
(1) 证明： AP⊥BCAP \perp BC； (2) 在线段 APAP 上是否存在点 MM，使得二面角 A−MC−BA - MC - B 为直二面角. 若存在，求出 AMAM 的长；若不存在，请说明理由.

2011 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，AB=ACAB = AC，DD 为 BCBC 的中点，PO⊥PO \perp 平面 ABCABC，垂足 OO 落在线段 ADAD 上.
(1) 证明： AP⊥BCAP \perp BC； (2) 已知 BC=8BC = 8，PO=4PO = 4，AO=3AO = 3，OD=2OD = 2. 求二面角 B−AP−CB - AP - C 的大小.

2011 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在矩形 ABCDABCD 中，点 EE，FF 分别在线段 ABAB，ADAD 上，AE=EB=AF=23FD=4AE = EB = AF = \frac{2}{3} FD = 4. 沿直线 EFEF 将 △AEF\triangle AEF 翻折成 △A′EF\triangle A'EF，使平面 A′EF⊥A'EF \perp 平面 BEFBEF.
(1) 求二面角 A′−FD−CA' - FD - C 的余弦值； (2) 点 MM，NN 分别在线段 FDFD，BCBC 上，若沿直线 MNMN 将四边形 MNCDMNCD 向上翻折，使 CC 与 A′A' 重合，求线段 FMFM 的长.
\begin{solution} 建立直角坐标系，使矩形所在平面为 z=0z=0，取 D=(0,0,0)D=(0,0,0)，F=(0,6,0)F=(0,6,0)，A=(0,10,0)A=(0,10,0)，B=(8,10,0)B=(8,10,0) C=(8,0,0)C=(8,0,0)，E=(4,10,0)E=(4,10,0). 这里由 23FD=4\frac23FD=4 得 FD=6FD=6. 设 HH 为 EFEF 的中点，则 H=(2,8,0)H=(2,8,0). 因为 AE=AFAE=AF，所以 AH⊥EFAH\perp EF，且 AH=22AH=2\sqrt2. 折叠后平面 A′EFA'EF 与原平面垂直，故可取
A′=(2,8,22)A'=(2,8,2\sqrt2)
\begin{enumerate} \item 平面 FDCFDC 是 z=0z=0，可取其法向量 n2=(0,0,1)\boldsymbol{n}_2=(0,0,1). 平面 A′FDA'FD 内的两个方向向量可取 FD→=(0,−6,0)\overrightarrow{FD}=(0,-6,0) 和 FA′→=(2,2,22)\overrightarrow{FA'}=(2,2,2\sqrt2)，故其法向量可取
n1=FD→×FA′→=(−122,0,12)\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{FD}\times\overrightarrow{FA'}=(-12\sqrt2,0,12)
因此二面角的余弦值为
∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=12(122)2+122=33\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|} =\frac{12}{\sqrt{(12\sqrt2)^2+12^2}}=\frac{\sqrt3}{3}
\item 设 FM=xFM=x，则 M=(0,6−x,0)M=(0,6-x,0)，且 0⩽x⩽60\leqslant x\leqslant6. 折叠绕直线 MNMN 进行，点 MM 在折痕上不动，所以 CM=A′MCM=A'M. 于是
CM2=82+(6−x)2CM^2=8^2+(6-x)^2
A′M2=22+(8−(6−x))2+(22)2=(x+2)2+12A'M^2=2^2+(8-(6-x))^2+(2\sqrt2)^2=(x+2)^2+12
令两式相等，得 64+(6−x)2=(x+2)2+1264+(6-x)^2=(x+2)^2+12，x=214x=\frac{21}{4}. 还需验证折痕可取在 BCBC 上. 令 N=(8,n,0)N=(8,n,0)，由 CN=A′NCN=A'N 得
n2=62+(n−8)2+(22)2n^2=6^2+(n-8)^2+(2\sqrt2)^2
故 n=274∈[0,10]n=\frac{27}{4}\in[0,10]，确有 N∈BCN\in BC. 所以
FM=214FM=\frac{21}{4}
\end{enumerate} \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AB=2BCAB = 2BC，∠ABC=120∘\angle ABC = 120^{\circ}. EE 为线段 ABAB 的中点，将 △ADE\triangle ADE 沿直线 DEDE 翻折成 △A′DE\triangle A'DE，使平面 A′DE⊥A'DE \perp 平面 BCDBCD，FF 为线段 A′CA'C 的中点.
(1) 求证：BF∥BF \parallel 平面 A′DEA'DE； (2) 设 MM 为线段 DEDE 的中点，求直线 FMFM 与平面 A′DEA'DE 所成角的余弦值.

2010 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，平面 PAC⊥PAC \perp 平面 ABCABC，△ABC\triangle ABC 是以 ACAC 为斜边的等腰直角三角形，EE，FF，OO 分别为 PAPA，PBPB，ACAC 的中点，AC=16AC=16，PA=PC=10PA=PC=10.
(1) 设 GG 是 OCOC 的中点，证明：FG∥FG \parallel 平面 BOEBOE； (2) 证明：在 △ABO\triangle ABO 内存在一点 MM，使 FM⊥FM \perp 平面 BOEBOE，并求点 MM 到 OAOA，OBOB 的距离.

2009 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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