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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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045分立体几何初步★★☆☆☆
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔 148.5m148.5\text{m} 时，相应水面的面积为 140.0km2140.0\text{km}^2；水位为海拔 157.5m157.5\text{m} 时，相应水面的面积为 180.0km2180.0\text{km}^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m148.5\text{m} 上升到 157.5m157.5\text{m} 时，增加的水量约为（7≈2.65\sqrt7\approx 2.65）（ ）
A.
1.0×109m31.0\times 10^9\text{m}^3
B.
1.2×109m31.2\times 10^9\text{m}^3
C.
1.4×109m31.4\times 10^9\text{m}^3
D.
1.6×109m31.6\times 10^9\text{m}^3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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035分立体几何初步★☆☆☆☆
已知圆锥的底面半径为 2\sqrt{2}，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A.
22
B.
222\sqrt{2}
C.
44
D.
424\sqrt{2}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 3 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥. 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A.
5−14\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}
B.
5−12\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}
C.
5+14\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}
D.
5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 为球 OO 的球面上的三个点，⊙O1\odot O_1 为 △ABC\triangle ABC 的外接圆. 若 ⊙O1\odot O_1 的面积为 4π4\pi，AB=BC=AC=OO1AB=BC=AC=OO_1，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
64π64\pi
B.
48π48\pi
C.
36π36\pi
D.
32π32\pi

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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05立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1O_1，O2O_2，过直线 O1O2O_1O_2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 88 的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A.
122π12\sqrt2\pi
B.
12π12\pi
C.
82π8\sqrt2\pi
D.
10π10\pi

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
某圆柱的高为 22，底面周长为 1616，其三视图如图. 圆柱表面上的点 MM 在正视图上的对应点为 AA，圆柱表面上的点 NN 在左视图上的对应点为 BB，则在此圆柱侧面上，从 MM 到 NN 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.
2172\sqrt{17}
B.
252\sqrt5
C.
33
D.
22

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=BC=2AB=BC=2，AC1AC_1 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成的角为 30∘30^\circ，则该长方体的体积为（ ）
A.
88
B.
626\sqrt2
C.
828\sqrt2
D.
838\sqrt3

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
l1l_1，l2l_2 表示空间中的两条直线，若 pp：l1l_1，l2l_2 是异面直线；qq：l1l_1，l2l_2 不相交，则（ ）
A.
pp 是 qq 的充分条件，但不是 qq 的必要条件
B.
pp 是 qq 的必要条件，但不是 qq 的充分条件
C.
pp 是 qq 的充分必要条件
D.
pp 既不是 qq 的充分条件，也不是 qq 的必要条件

2015 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的空间直角坐标系 O−xyzO-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)(0,0,2)，(2,2,0)(2,2,0)，(1,2,1)(1,2,1)，(2,2,2)(2,2,2). 给出编号为\circled1\circled{1}、\circled2\circled{2}、\circled3\circled{3}、\circled4\circled{4}的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.
\circled1\circled{1}和\circled2\circled{2}
B.
\circled3\circled{3}和\circled1\circled{1}
C.
\circled4\circled{4}和\circled3\circled{3}
D.
\circled4\circled{4}和\circled2\circled{2}

2014 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 LL 与高 hh，计算其体积 VV 的近似公式 V≈136L2hV \approx \frac{1}{36} L^2 h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π\pi 近似取为 33. 那么，近似公式 V≈275L2hV \approx \frac{2}{75} L^2 h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率 π\pi 近似取为（ ）
A.
227\frac{22}{7}
B.
258\frac{25}{8}
C.
15750\frac{157}{50}
D.
355113\frac{355}{113}

2014 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的空间直角坐标系 O−xyzO-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)(0,0,2)，(2,2,0)(2,2,0)，(1,2,1)(1,2,1)，(2,2,2)(2,2,2). 给出编号为\circled1\circled{1}、\circled2\circled{2}、\circled3\circled{3}、\circled4\circled{4}的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.
\circled1\circled{1}和\circled2\circled{2}
B.
\circled3\circled{3}和\circled1\circled{1}
C.
\circled4\circled{4}和\circled3\circled{3}
D.
\circled4\circled{4}和\circled2\circled{2}

2014 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置知其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 LL 与高 hh，计算其体积 VV 的近似公式 V≈136L2hV \approx \frac{1}{36}L^2h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π\pi 近似取为 33. 那么，近似公式 V≈275L2hV \approx \frac{2}{75}L^2h 相当于将圆锥体积公式中的 π\pi 近似取为（ ）
A.
227\frac{22}{7}
B.
258\frac{25}{8}
C.
15750\frac{157}{50}
D.
355113\frac{355}{113}

2014 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V1V_{1}，V2V_{2}，V3V_{3}，V4V_{4}. 上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）
A.
V1<V2<V4<V3V_{1} < V_{2} < V_{4} < V_{3}
B.
V1<V3<V2<V4V_{1} < V_{3} < V_{2} < V_{4}
C.
V2<V1<V3<V4V_{2} < V_{1} < V_{3} < V_{4}
D.
V2<V3<V1<V4V_{2} < V_{3} < V_{1} < V_{4}

2013 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
8π3\frac{8\pi}{3}
B.
3π3\pi
C.
10π3\frac{10\pi}{3}
D.
6π6\pi

2012 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 VV，求其直径 dd 的一个近似公式 d≈169V3d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 π=3.14159⋯\pi = 3.14159 \cdots 判断，下列近似公式中最精确的是（ ）
A.
d≈169V3d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}
B.
d≈2V3d \approx \sqrt[3]{2V}
C.
d≈300157V3d \approx \sqrt[3]{\frac{300}{157}V}
D.
d≈2111V3d \approx \sqrt[3]{\frac{21}{11}V}

2012 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
设球的体积为 V1V_{1}. 它的内接正方体的体积为 V2V_{2}. 下列说法中最合适的是（ ）
A.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一半
B.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多两倍半
C.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一倍
D.
V1V_{1} 比 V2V_{2} 大约多一倍半

2011 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
用 aa，bb，cc 表示三条不同的直线，γ\gamma 表示平面，给出下列命题：
① 若 a∥ba \parallel b，b∥cb \parallel c，则 a∥ca \parallel c. ② 若 a⊥ba \perp b，b⊥cb \perp c，则 a⊥ca \perp c. ③ 若 a∥γa \parallel \gamma，b∥γb \parallel \gamma，则 a∥ba \parallel b. ④ 若 a⊥γa \perp \gamma，b⊥γb \perp \gamma，则 a∥ba \parallel b.
正确的有（ ）
A.
①②
B.
②③
C.
①④
D.
③④

2010 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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