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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，AEAE 为底面直径，AE=ADAE=AD. △ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，PO=66DOPO=\dfrac{\sqrt{6}}{6}DO.
(1) 证明：PA⊥PA\perp 平面 PBCPBC； (2) 求二面角 B−PC−EB-PC-E 的余弦值.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 的中点，以 DFDF 为折痕把 △DFC\triangle DFC 折起，使点 CC 到达点 PP 的位置，且 PF⊥BFPF\perp BF.
(1) 证明：平面 PEF⊥PEF\perp 平面 ABFDABFD； (2) 求 DPDP 与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马 P−ABCDP-ABCD 中，侧棱 PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，且 PD=CDPD=CD，过棱 PCPC 的中点 EE，作 EF⊥PBEF\perp PB 交 PBPB 于点 FF，连接 DEDE，DFDF，BDBD，BEBE.
(1) 证明：PB⊥PB\perp 平面 DEFDEF. 试判断四面体 DBEFDBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； (2) 若面 DEFDEF 与面 ABCDABCD 所成二面角的大小为 π3\dfrac\pi3，求 DCBC\dfrac{DC}{BC} 的值.

2015 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.
如图，在阳马 P−ABCDP-ABCD 中，侧棱 PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，且 PD=CDPD=CD，点 EE 是 PCPC 的中点，连接 DEDE，BDBD，BEBE.
(1) 证明：DE⊥DE\perp 平面 PBCPBC. 试判断四面体 EBCDEBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； (2) 记阳马 P−ABCDP-ABCD 的体积为 V1V_1，四面体 EBCDEBCD 的体积为 V2V_2，求 V1V2\dfrac{V_1}{V_2} 的值.

2015 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF，MM，NN 分别是棱 ABAB，ADAD，A1B1A_{1}B_{1}，A1D1A_{1}D_{1} 的中点，点 PP，QQ 分别在棱 DD1DD_{1}，BB1BB_{1} 上移动，且 DP=BQ=λDP = BQ = \lambda（0<λ<20 < \lambda < 2）.
(1) 当 λ=1\lambda = 1 时，证明：直线 BC1BC_{1} ∥\parallel 平面 EFPQEFPQ. (2) 是否存在 λ\lambda，使平面 EFPQEFPQ 与面 PQMNPQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF，PP，QQ，MM，NN 分别是棱 ABAB，ADAD，DD1DD_{1}，BB1BB_{1}，A1B1A_{1}B_{1}，A1D1A_{1}D_{1} 的中点. 求证：
(1) 直线 BC1BC_{1} ∥\parallel 平面 EFPQEFPQ； (2) 直线 AC1AC_{1} ⊥\perp 平面 PQMNPQMN.

2014 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 是圆 OO 上异于 AA，BB 的点，直线 PC⊥PC \perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 PAPA，PCPC 的中点.
(1) 记平面 BEFBEF 与平面 ABCABC 的交线为 ll，试判断直线 ll 与平面 PAC 的位置关系，并加以证明； (2) 设 （1） 中的直线 ll 与圆 OO 的另一个交点为 DD，且点 QQ 满足 DQ→=12CP→\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CP}，记直线 PQPQ 与平面 ABCABC 所成的角为 θ\theta，异面直线 PQPQ 与 EFEF 所成的角为 α\alpha，二面角 E−l−CE - l - C 的大小为 β\beta，求证： sin⁡θ=sin⁡αsin⁡β\sin \theta = \sin \alpha \sin \beta.

2013 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，某地质队自水平地面 AA，BB，CC 三处垂直向地下钻探，自 AA 点向下钻到 A1A_1 处发现矿藏，再继续下钻到 A2A_2 处后下面已无矿，从而得到在 AA 处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1A_1A_2=d_1，同样可得在 BB，CC 处正下方的矿层厚度分别为 B1B2=d2B_1B_2=d_2，C1C2=d3C_1C_2=d_3，且 d1<d2<d3d_1<d_2<d_3，过 ABAB，ACAC 的中点 MM，NN 且与直线 AA2AA_2 平行的平面截多面体 A1B1C1−A2B2C2A_1B_1C_1-A_2B_2C_2 所得的截面 DEFGDEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为 S中S_{\text{中}}.
(1) 证明：中截面 DEFGDEFG 是梯形； (2) 在 △ABC\triangle ABC 中，记 BC=aBC=a，BCBC 边上的高为 hh，面积为 SS. 在估测三角形 ABCABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 A1B1C1−A2B2C2A_1B_1C_1-A_2B_2C_2 的体积 VV）时，可用近似公式 V估=S中⋅hV_{\text{估}}=S_{\text{中}}\cdot h 来估算. 已知 V=13(d1+d2+d3)SV=\frac{1}{3}(d_1+d_2+d_3)S，试判断 V估V_{\text{估}} 与 VV 的大小关系，并加以证明.

2013 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图 1，∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ}，BC=3BC = 3，过动点 AA 作 AD⊥BCAD \perp BC，垂足 DD 在线段 BCBC 上且异于点 BB，连接 ABAB. 沿 ADAD 将 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}（如图 2 所示）.
(1) 当 BDBD 的长为多少时，三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大； (2) 当三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大时，设点 EE，MM 分别为棱 BCBC，ACAC 的中点，试在棱 CDCD 上确定一点 NN，使得 EN⊥BMEN \perp BM，并求 ENEN 与平面 BMNBMN 所成角的大小.

2012 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1−ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1} - ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD−A2B2C2D2ABCD - A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}.
(1) 证明：直线 B1D1⊥B_{1}D_{1} \perp 平面 ACC2A2ACC_{2}A_{2}； (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知 AB=10AB = 10，A1B1=20A_{1}B_{1} = 20，AA2=30AA_{2} = 30，AA1=13AA_{1} = 13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费用为 0.20 元0.20\text{ 元}. 需加工处理费多少元？

2012 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 的各棱长都是 44，EE 是 BCBC 的中点，动点 FF 在侧棱 CC1CC_{1} 上，且不与点 CC 重合.
(1) 当 CF=1CF=1 时，求证：EF⊥A1CEF\perp A_{1}C； (2) 设二面角 C−AF−EC-AF-E 的大小为 θ\theta，求 tan⁡θ\tan\theta 的最小值.

2011 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的底面边长为 22，侧棱长为 323\sqrt{2}，点 EE 在侧棱 AA1AA_{1} 上，点 FF 在侧棱 BB1BB_{1} 上，且 AE=22AE = 2\sqrt{2}，BF=2BF = \sqrt{2}.
(1) 求证：CF⊥C1ECF \perp C_{1}E. (2) 求二面角 E−CF−C1E - CF - C_1 的大小.

2011 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABOCABOC 中，OC⊥OAOC \perp OA，OC⊥OBOC \perp OB，∠AOB=120∘\angle AOB = 120^{\circ}，且 OA=OB=OC=1OA = OB = OC = 1.
(1) 设 PP 为 ACAC 的中点，证明：在 ABAB 上存在一点 QQ，使 PQ⊥OAPQ \perp OA，并计算 ABAQ\frac{AB}{AQ} 的值； (2) 求二面角 O−AC−BO - AC - B 的平面角的余弦值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABOCABOC 中，OC⊥OAOC \perp OA，OC⊥OBOC \perp OB，∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ，且 OA=OB=OC=1OA = OB = OC = 1.
(1) 设 PP 为 ACAC 的中点，QQ 在 ABAB 上且 AB=3AQAB = 3AQ，证明： PQ⊥OAPQ \perp OA； (2) 求二面角 O−AC−BO - AC - B 的平面角的余弦值.

2010 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS-ABCD 的底面是正方形，SD⊥SD \perp 平面 ABCDABCD，SD=2aSD = 2a，AD=2aAD = \sqrt{2}a，点 EE 是 SDSD 上的点，且 DE=λaDE = \lambda a（0<λ⩽20 < \lambda \leqslant 2）.
(1) 求证：对任意的 λ∈(0,2]\lambda \in (0,2]，都有 AC⊥BEAC \perp BE； (2) 设二面角 C−AE−DC-AE-D 的大小为 θ\theta. 直线 BEBE 与平面 ABCDABCD 所成的角为 φ\varphi. 若 tan⁡θ⋅tan⁡φ=1\tan \theta \cdot \tan \varphi = 1，求 λ\lambda 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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