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145分立体几何初步★★☆☆☆
在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，A1B1=1A_1B_1=1，AA1=2AA_1=\sqrt2，则该棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13不等式★★☆☆☆
要制作一个容积为 4 m34 \mathrm{~m}^{3}，高为 1 m1 \mathrm{~m} 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元20\text{ 元}，侧面造价是每平方米 10 元10\text{ 元}，则该容器的最低总造价是______元\text{元}.

2014 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 22 的正方形，则该球的表面积是______.

2013 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCABC，PA=3PA = 3，底面 ABCABC 是边长为 22 的正三角形，则三棱锥 P−ABCP - ABC 的体积等于______.

2011 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=2AB = 2，点 EE 为 ADAD 的中点，点 FF 在 CDCD 上，
若 EF∥EF \parallel 平面 AB1CAB_{1}C，则线段 EFEF 的长度等于______.

2011 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其表面积等于______.

2010 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______. \begin{answer} 9π9\pi \end{answer} \begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面顶点为 AA，BB，CC. 三个侧面两两垂直，因此它们的两两交线 PAPA、PBPB、PCPC 两两垂直. 取 P(0,0,0)P(0,0,0)，A(3,0,0)A(\sqrt3,0,0)，B(0,3,0)B(0,\sqrt3,0)，C(0,0,3)C(0,0,\sqrt3).
外接球心到四个顶点距离相等. 由对称性球心为 O(32,32,32)O\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt3}{2}\right)，所以外接球半径满足
R2=(32)2+(32)2+(32)2=94R^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac94
故其表面积为 4πR2=9π4\pi R^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3\sqrt{3}，则其外接球的表面积是______.
\begin{answer} 9π9\pi \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥的顶点为 OO，底面顶点为 AA，BB，CC. 由于三个侧面两两垂直，可取 OAOA，OBOB，OCOC 为互相垂直的三条坐标轴，并设 A=(3,0,0)A=(\sqrt3,0,0)，B=(0,3,0)B=(0,\sqrt3,0)，C=(0,0,3)C=(0,0,\sqrt3)，O=(0,0,0)O=(0,0,0).
外接球球心到 OO，AA，BB，CC 的距离相等. 由对称性球心为 Q=(32,32,32)Q=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)，其半径满足 R=QO=3(32)2=32R=QO=\sqrt{3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\frac32. 因此外接球的表面积为 4πR2=4π(32)2=9π4\pi R^2=4\pi\left(\frac32\right)^2=9\pi. \end{solution}

2008 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
如图，将边长为 11 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.
当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

2004 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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