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1513分立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AC=BCAC=BC，DD，EE 分别为 ABAB，AC1AC_1 的中点.
(1) 证明：DE//平面BCC1B1DE // \text{平面} BCC_1B_1； (2) 设 CC1=2CC_1=2，直线 DEDE 与平面 ACC1A1ACC_1A_1 所成的角为 45∘45^\circ，求直线 DEDE 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，AEAE 为底面直径，AE=ADAE=AD. △ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，PO=66DOPO=\dfrac{\sqrt{6}}{6}DO.
(1) 证明：PA⊥PA\perp 平面 PBCPBC； (2) 求二面角 B−PC−EB-PC-E 的余弦值.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，EE，FF 分别为 ADAD，BCBC 的中点，以 DFDF 为折痕把 △DFC\triangle DFC 折起，使点 CC 到达点 PP 的位置，且 PF⊥BFPF\perp BF.
(1) 证明：平面 PEF⊥PEF\perp 平面 ABFDABFD； (2) 求 DPDP 与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在平行四边形 ABCMABCM 中，AB=AC=3AB=AC=3，∠ACM=90∘\angle ACM=90^\circ，以 ACAC 为折痕将 △ACM\triangle ACM 折起，使点 MM 到达点 DD 的位置，且 AB⊥DAAB\perp DA.
(1) 证明：平面 ACD⊥ACD\perp 平面 ABCABC； (2) QQ 为线段 ADAD 上一点，PP 为线段 BCBC 上一点，且 BP=DQ=23DABP=DQ=\dfrac23DA，求三棱锥 Q−ABPQ-ABP 的体积.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在几何体 ABCDEABCDE 中，四边形 ABCDABCD 是矩形，AB⊥AB \perp 平面 BECBEC，BE⊥ECBE \perp EC，AB=BE=EC=2AB = BE = EC = 2，GG、FF 分别是线段 BEBE、DCDC 的中点.
(1) 求证：GF∥GF \parallel 平面 ADEADE； (2) 求平面 AEFAEF 与平面 BECBEC 所成锐二面角的余弦值.

2015 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 是圆 OO 上异于 AA，BB 的点，POPO 垂直于圆 OO 所在的平面，且 PO=OB=1PO = OB = 1.
(1) 若 DD 为线段 ACAC 的中点，求证：AC⊥AC \perp 平面 PDOPDO； (2) 求三棱锥 P−ABCP - ABC 体积的最大值； (3) 若 BC=2BC = \sqrt{2}，点 EE 在线段 PBPB 上，求 CE+OECE + OE 的最小值.

2015 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，AB=BD=CD=1AB = BD = CD = 1，AB⊥BDAB \perp BD，CD⊥BDCD \perp BD. 将 △ABD\triangle ABD 沿 BDBD 折起，使得平面 ABD⊥ABD \perp 平面 BCDBCD，如图.
(1) 求证：AB⊥CDAB \perp CD； (2) 若 MM 为 ADAD 中点，求直线 ADAD 与平面 MBCMBC 所成角的正弦值.

2014 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱锥 A−BCDA - BCD 中，AB⊥AB \perp 平面 BCDBCD，CD⊥BDCD \perp BD.
(1) 求证：CD⊥CD \perp 平面 ABDABD； (2) 若 AB=BD=CD=1AB = BD = CD = 1，MM 为 ADAD 中点，求三棱锥 A−MBCA - MBC 的体积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD，且 CDCD 在平面 BCDBCD 内，所以 AB⊥CDAB\perp CD. 题设又给出 BD⊥CDBD\perp CD，而 ABAB 与 BDBD 是平面 ABDABD 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，CD⊥CD\perp 平面 ABDABD. \item 建立空间直角坐标系，取 B=(0,0,0)B=(0,0,0)、D=(1,0,0)D=(1,0,0)、C=(1,1,0)C=(1,1,0)、A=(0,0,1)A=(0,0,1)，则条件 AB⊥AB\perp 平面 BCDBCD、AB=BD=CD=1AB=BD=CD=1 均满足. 因为 MM 是 ADAD 的中点，所以 M=(12,0,12)M=\left(\frac12,0,\frac12\right). 于是 AM→=(12,0,−12)\overrightarrow{AM}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)，AB→=(0,0,−1)\overrightarrow{AB}=(0,0,-1)，AC→=(1,1,−1)\overrightarrow{AC}=(1,1,-1). 计算得 AB→×AC→=(1,−1,0)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)，从而 VA−MBC=16∣AM→⋅(AB→×AC→)∣=16×12=112V_{A-MBC}=\frac16\left|\overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\right|=\frac16\times\frac12=\frac1{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 中，侧棱 AA1⊥AA_1 \perp 底面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AA1=1AA_1 = 1，AB=3kAB = 3k，AD=4kAD = 4k，BC=5kBC = 5k，DC=6kDC = 6k（k>0k > 0）.
(1) 求证：CD⊥CD \perp 平面 ADD1A1ADD_1A_1； (2) 若直线 AA1AA_1 与平面 AB1CAB_1C 所成的正弦值为 67\frac{6}{7}，求 kk 的值； (3) 现将与四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为一种拼接方案，问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 f(k)f(k)，写出 f(k)f(k) 的解析式.（直接写出答案，不必说明理由）

2013 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AB⊥ADAB \perp AD，BC=5BC = 5，DC=3DC = 3，AD=4AD = 4，∠PAD=60∘\angle PAD = 60^\circ.
(1) 当正视方向与向量 AD→\overrightarrow{AD} 的方向相同时，画出四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的正视图 （要求标出尺寸，并写出演算过程）； (2) 若 MM 为 PAPA 的中点，求证： DM∥DM \parallel 平面 PBCPBC； (3) 求三棱锥 D−PBCD-PBC 的体积.

2013 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=AD=1AA_{1} = AD = 1，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：B1E⊥AD1B_{1}E \perp AD_{1}； (2) 在棱 AA1AA_{1} 上是否存在一点 PP，使得 DP∥DP \parallel 平面 B1AEB_{1}AE？若存在，求 APAP 的长；若不存在，请说明理由； (3) 若二面角 A−B1E−A1A-B_{1}E-A_{1} 的大小为 30∘30^{\circ}，求 ABAB 的长.

2012 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=AD=1AB = AD = 1，AA1=2AA_{1} = 2，MM 为棱 DD1DD_{1} 上的一点.
(1) 求三棱锥 A−MCC1A - MCC_{1} 的体积； (2) 当 A1M+MCA_{1}M + MC 取得最小值时，求证： B1M⊥B_{1}M \perp 平面 MACMAC.

2012 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，四边形 ABCDABCD 中，AB⊥ADAB\perp AD，AB+AD=4AB+AD=4，CD=2CD=\sqrt{2}，∠CDA=45∘\angle CDA=45^\circ.
(1) 求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PADPAD； (2) 设 AB=APAB=AP.
(i) 若直线 PBPB 与平面 PCDPCD 所成的角为 30∘30^\circ，求线段 ABAB 的长； (ii) 在线段 ADAD 上是否存在一个点 GG，使得点 GG 到点 PP，BB，CC，DD 的距离都相等？说明理由.

2011 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，点 EE 在线段 ADAD 上，且 CE∥ABCE \parallel AB.
(1) 求证：CE⊥CE \perp 平面 PADPAD； (2) 若 PA=AB=1PA = AB = 1，AD=3AD = 3，CD=2CD = \sqrt{2}，∠CDA=45∘\angle CDA = 45^{\circ}，求四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的体积.

2011 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，圆柱 OO1O O_{1} 内有一个三棱柱 ABC−A1B1C1A B C - A_{1}B_{1}C_{1}，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 ABA B 是圆 OO 的直径.
(1) 证明：平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 设 AB=AA1AB = AA_{1}，在圆柱 OO1OO_{1} 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 内的概率为 pp.
(i) 当点 CC 在圆周上运动时，求 pp 的最大值； (ii) 记平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与平面 B1OCB_{1}OC 所成的角为 θ\theta （0∘<θ⩽90∘0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}），当 pp 取最大值时，求 cos⁡θ\cos \theta 的值.

2010 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，HH 分别是棱 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上的点（点 EE 与 B1B_{1} 不重合），且 EH∥A1D1EH\parallel A_{1}D_{1}. 过 EHEH 的平面与棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 相交，交点分别为 FF，GG.
(1) 证明：AD∥AD\parallel 平面 EFGHEFGH； (2) 设 AB=2AA1=2aAB = 2AA_{1} = 2a. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 内随机选取一点. 记该点取自几何体 A1ABFE−D1DCGHA_{1}ABFE-D_{1}DCGH 内的概率为 pp，当点 EE，FF 分别在棱 A1B1A_{1}B_{1}，B1BB_{1}B 上运动且满足 EF=aEF = a 时，求 pp 的最小值.

2010 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥MD \perp 平面 ABCDABCD，NB⊥NB \perp 平面 ABCDABCD，且 MD=NB=1MD = NB = 1，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 NENE 与 AMAM 所成角的余弦值； (2) 在线段 ANAN 上是否存在点 SS，使得 ES⊥ES \perp 平面 AMNAMN？若存在，求线段 ASAS 的长；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，使DD为原点，DCDC、DADA、DMDM分别为三个坐标轴正方向.则A(0,1,0)A(0,1,0)、B(1,1,0)B(1,1,0)、C(1,0,0)C(1,0,0)、M(0,0,1)M(0,0,1)、N(1,1,1)N(1,1,1)、E(1,12,0)E\left(1,\frac{1}{2},0\right). 于是NE→=(0,−12,−1)\overrightarrow{NE}=\left(0,-\frac{1}{2},-1\right)，AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，且 NE→⋅AM→=−12\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}、∣NE→∣=52|\overrightarrow{NE}|=\frac{\sqrt{5}}{2}、∣AM→∣=2|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}. 异面直线所成角取锐角，故其余弦值为
∣NE→⋅AM→∣∣NE→∣∣AM→∣=12102=1010\frac{|\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{AM}|} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}
\item 设SS在线段ANAN上，令S=A+t(N−A)=(t,1,t)S=A+t(N-A)=(t,1,t)，其中0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1.平面AMNAMN内有 AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，AN→=(1,0,1)\overrightarrow{AN}=(1,0,1)，其法向量可取
AM→×AN→=(−1,1,1)\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AN}=(-1,1,1)
又ES→=(t−1,12,t)\overrightarrow{ES}=\left(t-1,\frac{1}{2},t\right).要使ES⊥ES\perp平面AMNAMN，必须有ES→\overrightarrow{ES}平行于(−1,1,1)(-1,1,1).比较第二坐标得比例因子为12\frac{1}{2}，于是第一、第三坐标分别给出t−1=−12t-1=-\frac{1}{2}和t=12t=\frac{1}{2}，两者一致.因此存在这样的点SS，且
AS=t∣AN∣=1212+12=22AS=t|AN|=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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