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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，BC∥ADBC\parallel AD，EF∥ADEF\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt{3}，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel平面 CDECDE； (2) 求二面角 F−BM−EF-BM-E 的正弦值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在以 AA，BB，CC，DD，EE，FF 为顶点的五面体中，四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形，EF∥ADEF\parallel AD，BC∥ADBC\parallel AD，AD=4AD=4，AB=BC=EF=2AB=BC=EF=2，ED=10ED=\sqrt{10}，FB=23FB=2\sqrt3，MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明：BM∥BM\parallel 平面 CDECDE； (2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 底面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，AA1=2AA_1=2，A1A_1 到平面 BCC1B1BCC_1B_1 的距离为 1.
(1) 证明 A1C=ACA_1C=AC； (2) 已知 AA1AA_1 与 BB1BB_1 的距离为 2，求 AB1AB_1 与平面 BCC1B1BCC_1B_1 所成角的正弦值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，A1C⊥A_1C\perp 平面 ABCABC，∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ.
(1) 证明：平面 ACC1A1⊥ACC_1A_1\perp 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 设 AB=A1BAB=A_1B，AA1=2AA_1=2，求四棱锥 A1−BB1C1CA_1-BB_1C_1C 的高.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，CD∥ABCD\parallel AB，AD=DC=CB=1AD=DC=CB=1，AB=2AB=2，DP=3DP=\sqrt3.
(1) 证明：BD⊥PABD\perp PA； (2) 求 PDPD 与平面 PABPAB 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCDABCD 是边长为 8 cm8\mathrm{~cm} 的正方形，△EAB\triangle EAB，△FBC\triangle FBC，△GCD\triangle GCD，△HDA\triangle HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCDABCD 垂直.
(1) 证明：EF∥EF\parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 证明：BF⊥DEBF\perp DE； (2) 当 B1DB_1D 为何值时，面 BB1C1CBB_1C_1C 与面 DEFDEF 所成的二面角的正弦值最小？

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 AA1B1BAA_1B_1B 为正方形，AB=BC=2AB=BC=2，EE，FF 分别为 ACAC 和 CC1CC_1 的中点，BF⊥A1B1BF\perp A_1B_1.
(1) 求三棱锥 F−EBCF-EBC 的体积； (2) 已知 DD 为棱 A1B1A_1B_1 上的点，证明：BF⊥DEBF\perp DE.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1.
(1) 证明：点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内； (2) 若 AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA1=3AA_1=3，求二面角 A−EF−A1A-EF-A_1 的正弦值.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1. 证明：
(1) 当 AB=BCAB=BC 时，EF⊥ACEF\perp AC； (2) 点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 11 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连接 DGDG，如图 22.
(1) 证明：图 22 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 22 中的二面角 B−CG−AB-CG-A 的大小.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 1 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连结 DGDG，如图 2.
(1) 证明：图 2 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 2 中的四边形 ACGDACGD 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，边长为 22 的正方形 ABCDABCD 所在的平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 当三棱锥 M−ABCM-ABC 体积最大时，求面 MABMAB 与面 MCDMCD 所成二面角的正弦值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 所在平面与半圆弧 CD^\widehat{CD} 所在平面垂直，MM 是 CD^\widehat{CD} 上异于 CC，DD 的点.
(1) 证明：平面 AMD⊥AMD\perp 平面 BMCBMC； (2) 在线段 AMAM 上是否存在点 PP，使得 MC∥MC\parallel 平面 PBDPBD？说明理由.

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