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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知棱台的上，下底面均是有一个内角为 60∘60^\circ 的菱形，上，下底面的边长分别为 22，33，该棱台的高为 3\sqrt{3}，则其体积为（ ）
A.
1912\frac{19}{12}
B.
196\frac{19}{6}
C.
194\frac{19}{4}
D.
192\frac{19}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 5 题 · 选择题

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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，平面四边形 ABCDABCD 中，AB=8AB=8，CD=3CD=3，AD=53AD=5\sqrt3，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ，点 EE，FF 满足 AE→=25AD→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}，AF→=12AB→\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 对折至 △PEF\triangle PEF，使得 PC=43PC=4\sqrt3.
(1) 证明：EF⊥PDEF\perp PD； (2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成二面角的正弦值.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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096分立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 PP，底面圆心为 OO，ABAB 为底面直径，∠APB=120∘\angle APB=120^\circ，PA=2PA=2，点 CC 在底面圆周上，且二面角 P−AC−OP-AC-O 为 45∘45^\circ，则（ ）
A.
该圆锥的体积为 π\pi
B.
该圆锥的侧面积为 43π4\sqrt3\pi
C.
AC=22AC=2\sqrt2
D.
△PAC\triangle PAC 的面积为 3\sqrt3

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

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145分立体几何初步★★☆☆☆
底面边长为 44 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 22，高为 33 的正四棱锥，所得棱台的体积为______.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 A−BCDA-BCD 中，DA=DB=DCDA=DB=DC，BD⊥CDBD\perp CD，∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB=\angle ADC=60^\circ，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 证明：BC⊥DABC\perp DA； (2) 点 FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}，求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台的高为 1，上，下底面边长分别为 333\sqrt3 和 434\sqrt3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
100π100\pi
B.
128π128\pi
C.
144π144\pi
D.
192π192\pi

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，ED⊥平面 ABCDED\perp\text{平面 }ABCD，FB∥EDFB\parallel ED，AB=ED=2FBAB=ED=2FB. 记三棱锥 E−ACDE-ACD，F−ABCF-ABC，F−ACEF-ACE 的体积分别为 V1V_1，V2V_2，V3V_3，则（ ）
A.
V3=2V2V_3=2V_2
B.
V3=V1V_3=V_1
C.
V3=V1+V2V_3=V_1+V_2
D.
2V3=3V12V_3=3V_1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，POPO 是三棱锥 P−ABCP-ABC 的高，PA=PBPA=PB，AB⊥ACAB\perp AC，EE 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：OE∥平面 PACOE\parallel\text{平面 }PAC； (2) 若 ∠ABO=∠CBO=30∘\angle ABO=\angle CBO=30^\circ，PO=3PO=3，PA=5PA=5，求二面角 C−AE−BC-AE-B 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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045分立体几何初步★★★☆☆
北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果. 在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000 km36000\text{ km}（轨道高度是指卫星到地球表面的最短距离）. 把地球看成是一个球心为 OO，半径 rr 为 6400 km6400\text{ km} 的球，其上点 AA 的纬度是指 OAOA 与赤道平面所成角的度数. 地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度最大值记为 α\alpha，该卫星信号覆盖地球表面的表面积为 S=2πr2(1−cos⁡α)S=2\pi r^2\left( 1-\cos \alpha \right)（单位：km2\text{km}^2），则 SS 占地球表面积的百分比约为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
26%26\%
B.
34%34\%
C.
42%42\%
D.
50%50\%

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 4 题 · 选择题

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055分立体几何初步★★☆☆☆
正四棱台的上、下底面的边长分别为 22，44，侧棱长为 22，则其体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
5656
B.
28228\sqrt2
C.
563\frac{56}{3}
D.
2823\frac{28\sqrt2}{3}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 5 题 · 选择题

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106分立体几何初步★★★☆☆
如图，下列各正方体中，OO 为下底面的中心，PP 为所在棱的中点，MM，NN 为正方体的顶点. 则满足 MN⊥OPMN\perp OP 的是（ ）
\begin{answer} BC \end{answer}
A.
B.
C.
D.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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1917分立体几何初步★★★★☆
在四棱锥 Q−ABCDQ-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，若 AD=2AD=2，QD=QA=5QD=QA=\sqrt5，QC=3QC=3.
(1) 证明：平面 QAD⊥平面 ABCDQAD\perp \text{平面 }ABCD； (2) 求二面角 B−QD−AB-QD-A 的平面角的余弦值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 MM，在俯视图中对应的点为 NN，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A.
EE
B.
FF
C.
GG
D.
HH

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是面积为 934\dfrac{9\sqrt3}{4} 的等边三角形，且其顶点都在球 OO 的球面上. 若球 OO 的表面积为 16π16\pi，则 OO 到平面 ABCABC 的距离为（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\dfrac{3}{2}
C.
11
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 AO=ABAO=AB，求直线 B1EB_1E 与平面 A1AMNA_1AMN 所成角的正弦值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 是面积为 934\dfrac{9\sqrt3}{4} 的等边三角形，且其顶点都在球 OO 的球面上. 若球 OO 的表面积为 16π16\pi，则 OO 到平面 ABCABC 的距离为（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\dfrac{3}{2}
C.
11
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO=AB=6AO=AB=6，AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 ∠MPN=π3\angle MPN=\dfrac{\pi}{3}，求四棱锥 B−EB1C1FB-EB_1C_1F 的体积.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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07立体几何初步★★☆☆☆
设 α\alpha，β\beta 为两个平面，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的充要条件是（ ）
A.
α\alpha 内有无数条直线与 β\beta 平行
B.
α\alpha 内有两条相交直线与 β\beta 平行
C.
α\alpha，β\beta 平行于同一条直线
D.
α\alpha，β\beta 垂直于同一平面

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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