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1615分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 AA-BCDBCD 中，点 EE 在 BDBD 上，AE⊥CEAE\perp CE，AE⊥DEAE\perp DE，CD⊥ADCD\perp AD.
(1) 证明：CD⊥ABCD\perp AB； (2) 若 DE=2DE=2，BE=1BE=1，AE=2AE=\sqrt{2}，CD=23CD=2\sqrt{3}，求直线 ADAD 与平面 ABCABC 所成角的正弦值.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★☆☆
如图，在四边形 ABCDABCD 中，AB//CDAB//CD，∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ，FF 为 CDCD 的中点，点 EE 在 ABAB 上，EF//ADEF//AD，AB=3ADAB=3AD，CD=2ADCD=2AD.
将四边形 EFDAEFDA 沿 EFEF 翻折至四边形 EFD′A′EFD'A'，使得面 EFD′A′EFD'A' 与面 EFCBEFCB 所成的二面角为 60∘60^\circ.
(1) 证明：A′B//A'B// 平面 CD′FCD'F； (2) 求面 BCD′BCD' 与面 EFD′A′EFD'A' 所成的二面角的正弦值.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1715分立体几何初步★★★★☆
如图，平面四边形 ABCDABCD 中，AB=8AB=8，CD=3CD=3，AD=53AD=5\sqrt3，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠BAD=30∘\angle BAD=30^\circ，点 EE，FF 满足 AE→=25AD→\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}，AF→=12AB→\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}，将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 对折至 △PEF\triangle PEF，使得 PC=43PC=4\sqrt3.
(1) 证明：EF⊥PDEF\perp PD； (2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成二面角的正弦值.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，三棱锥 A−BCDA-BCD 中，DA=DB=DCDA=DB=DC，BD⊥CDBD\perp CD，∠ADB=∠ADC=60∘\angle ADB=\angle ADC=60^\circ，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 证明：BC⊥DABC\perp DA； (2) 点 FF 满足 EF→=DA→\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DA}，求二面角 D−AB−FD-AB-F 的正弦值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，POPO 是三棱锥 P−ABCP-ABC 的高，PA=PBPA=PB，AB⊥ACAB\perp AC，EE 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：OE∥平面 PACOE\parallel\text{平面 }PAC； (2) 若 ∠ABO=∠CBO=30∘\angle ABO=\angle CBO=30^\circ，PO=3PO=3，PA=5PA=5，求二面角 C−AE−BC-AE-B 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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1917分立体几何初步★★★★☆
在四棱锥 Q−ABCDQ-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，若 AD=2AD=2，QD=QA=5QD=QA=\sqrt5，QC=3QC=3.
(1) 证明：平面 QAD⊥平面 ABCDQAD\perp \text{平面 }ABCD； (2) 求二面角 B−QD−AB-QD-A 的平面角的余弦值.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 AO=ABAO=AB，求直线 B1EB_1E 与平面 A1AMNA_1AMN 所成角的正弦值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO=AB=6AO=AB=6，AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 ∠MPN=π3\angle MPN=\dfrac{\pi}{3}，求四棱锥 B−EB1C1FB-EB_1C_1F 的体积.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥平面EB1C1BE\perp \text{平面} EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，求二面角 B−EC−C1B-EC-C_1 的正弦值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥BE\perp 平面 EB1C1EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，AB=3AB=3，求四棱锥 E−BB1C1CE-BB_1C_1C 的体积.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB=BC=22AB=BC=2\sqrt2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，OO 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：PO⊥PO\perp 平面 ABCABC； (2) 若点 MM 在棱 BCBC 上，且二面角 M−PA−CM-PA-C 为 30∘30^\circ，求 PCPC 与平面 PAMPAM 所成角的正弦值.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB=BC=22AB=BC=2\sqrt2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，OO 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：PO⊥PO\perp 平面 ABCABC； (2) 若点 MM 在棱 BCBC 上，且 MC=2MBMC=2MB，求点 CC 到平面 POMPOM 的距离.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 和 △BCD\triangle BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2AB = BC = BD = 2，∠ABC=∠DBC=120∘\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}，EE，FF 分别为 ACAC，DCDC 的中点.
(1) 求证：EF⊥BCEF \perp BC； (2) 求二面角 E−BF−CE - BF - C 的正弦值.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 和 △BCD\triangle BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2AB = BC = BD = 2，∠ABC=∠DBC=120∘\angle ABC = \angle DBC = 120^{\circ}，EE，FF，GG 分别为 ACAC，DCDC，ADAD 的中点. 附：锥体的体积公式 V=13ShV = \frac{1}{3} Sh，其中 SS 为底面面积，hh 为高.
(1) 求证：EF⊥EF \perp 平面 BCGBCG； (2) 求三棱锥 D−BCGD - BCG 的体积.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，ABAB 是圆的直径，PAPA 垂直圆所在的平面，CC 是圆上的点.
(1) 求证：平面 PAC⊥PBCPAC \perp PBC； (2) 若 AB=2AB = 2，AC=1AC = 1，PA=1PA = 1，求二面角 C−PB−AC - PB - A 的余弦值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
(1) 如图，ABAB 是圆的直径，PAPA 垂直圆所在的平面，CC 是圆上的点. 求证：BC⊥BC \perp 平面 PACPAC； (2) 设 QQ 为 PAPA 的中点，GG 为 △AOC\triangle AOC 的重心，求证：QG∥QG\parallel 平面 PBCPBC.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
(1) 如图，ABAB 为 ⊙O\odot O 直径，直线 CDCD 与 ⊙O\odot O 相切于 EE，ADAD 垂直 CDCD 于 DD，BCBC 垂直 CDCD 于 CC，EFEF 垂直 ABAB 于 FF，连接 AEAE，BEBE. 证明：∠FEB=∠CEB\angle FEB = \angle CEB； (2) 证明：EF2=AD⋅BCEF^{2} = AD\cdot BC.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C'，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，AB=AC=λAA′AB = AC = \lambda AA'，点 MM，NN 分别为 A′BA'B 和 B′C′B'C' 的中点.
(1) 证明：MN∥MN \parallel 平面 A′ACC′A'ACC'. (2) 若二面角 A′−MN−CA' - MN - C 为直二面角，求 λ\lambda 的值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，⊙O\odot O 和 ⊙O′\odot O' 相交于 AA，BB 两点，过 AA 作两圆的切线分别交两圆于 CC，DD 两点，连接 DBDB 并延长交 ⊙O\odot O 于点 EE. 证明：
(1) AC⋅BD=AD⋅ABAC \cdot BD = AD \cdot AB. (2) AC=AEAC = AE.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C'，∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ，AB=AC=2AB = AC = \sqrt{2}，AA′=1AA' = 1，点 MM，NN 分别为 A′BA'B 和 B′C′B'C' 的中点.
(1) 证明： MN∥MN \parallel 平面 A′ACC′A'ACC'； (2) 求三棱锥 A′−MNCA' - MNC 的体积. （锥体体积公式 V=13ShV = \frac{1}{3} Sh，其中 SS 为底面积，hh 为高）

2012 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，PD∥QAPD \parallel QA，QA=AB=12PDQA = AB = \frac{1}{2} PD.
(1) 证明：平面 PQC⊥PQC \perp 平面 DCQDCQ； (2) 求二面角 Q−BP−CQ - BP - C 的余弦值.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，AA，BB，CC，DD 四点在同一圆上，ADAD 的延长线与 BCBC 的延长线交于 EE 点，且 EC=EDEC = ED.
(1) 证明： CD∥ABCD \parallel AB； (2) 延长 CDCD 到 FF，延长 DCDC 到 GG，使得 EF=EGEF = EG，证明： AA，BB，GG，FF 四点共圆.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，QA⊥QA \perp 平面 ABCDABCD，PD∥QAPD \parallel QA，QA=AB=12PDQA = AB = \frac{1}{2}PD.
(1) 证明：PQ⊥PQ \perp 平面 DCQDCQ； (2) 求棱锥 Q−ABCDQ-ABCD 的体积与棱锥 P−DCQP-DCQ 的体积比值.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 P−ABCP - ABC 中，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，AB⊥ACAB \perp AC，PA=AC=12ABPA = AC = \frac{1}{2} AB，NN 为 ABAB 上一点，AB=4ANAB = 4AN，MM，SS 分别为 PBPB，BCBC 的中点.
(1) 证明：CM⊥SNCM \perp SN； (2) 求 SNSN 与平面 CMNCMN 所成角的大小.

2010 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的侧面 BCC1B1BCC_1B_1 是菱形，B1C⊥A1BB_1C\perp A_1B.
(1) 证明：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 A1BC1A_1BC_1； (2) 设 DD 是 A1C1A_1C_1 上的点，且 A1B∥A_1B\parallel 平面 B1CDB_1CD，求 A1D:DC1A_1D:DC_1 的值.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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