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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，母线长分别为 2(r2−r1)2\left( r_2-r_1 \right) 和 3(r2−r1)3\left( r_2-r_1 \right)，则圆台甲与乙的体积之比 V甲V乙=\dfrac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}}=______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
已知圆台甲，乙的上底面半径均为 r1r_1，下底面半径均为 r2r_2，圆台甲，乙的母线长分别为 2(r2−r1)2(r_2-r_1)，3(r2−r1)3(r_2-r_1)，则圆台甲与乙的体积之比为______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知点 SS，AA，BB，CC 均在半径为 22 的球面上，△ABC\triangle ABC 是边长为 33 的等边三角形，且 SA⊥SA\perp 平面 ABCABC，则 SA=SA=______.
\begin{answer} 22 \end{answer}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图 \circled1\circled{1} 为正视图，在图 \circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5} 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图①为正视图，在图②，③，④，⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16集合与逻辑基础★★★☆☆
设有下列四个命题：
① p1p_1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内； ② p2p_2：过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③ p3p_3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④ p4p_4：若直线 l⊂αl\subset \alpha，直线 m⊥αm\perp \alpha，则 m⊥lm\perp l.
则下述命题中所有真命题的序号是______.
① p1∧p4p_1\land p_4； ② p1∧p2p_1\land p_2； ③ ¬p2∨p3\neg p_2\vee p_3； ④ ¬p3∨¬p4\neg p_3\vee \neg p_4.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 所成角的余弦值为 78\dfrac78，SASA 与圆锥底面所成角为 45∘45^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 5155\sqrt{15}，则该圆锥的侧面积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
已知圆锥的顶点为 SS，母线 SASA，SBSB 互相垂直，SASA 与圆锥底面所成角为 30∘30^\circ，若 △SAB\triangle SAB 的面积为 88，则该圆锥的体积为______.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14立体几何初步★☆☆☆☆
观察分析下表中的数据：
五棱锥6610
立方体6812
猜想一般凸多面体中，FF，VV，EE 所满足的等式是______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
如图，△ABC\triangle ABC 中，BC=6BC = 6，以 BCBC 为直径的半圆分别交 ABAB，ACAC 于点 EE，FF，若 AC=2AEAC = 2AE，则 EF=EF =______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 15 题（B） · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则其体积为______.
\begin{answer} π3\dfrac{\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是底面半径为 11 的半个圆锥，圆锥的高为 22. 因而其体积为 12×13π×12×2=π3\dfrac12\times\dfrac13\pi\times1^2\times2=\dfrac\pi3，故填 π3\dfrac\pi3. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为______.

2013 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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15立体几何初步★★☆☆☆
如图，在圆 OO 中，直径 ABAB 与弦 CDCD 垂直，垂足为 EE，EF⊥DBEF \perp DB，垂足为 FF，若 AB=6AB = 6，AE=1AE = 1，则 DF⋅DB=DF \cdot DB =______.

2012 · 陕西 · 文 · 第 15 题（B） · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图球 OO 的半径为 22，圆 O1O_{1} 是一小圆，O1O=2O_{1}O = \sqrt{2}，AA，BB 是圆 O1O_{1} 上两点. 若 AA，BB 两点间的球面距离为 2π3\frac{2\pi}{3}，则 ∠AO1B=‾\angle AO_{1}B =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图球 OO 的半径为 22，圆 O1O_{1} 是一小圆，O1O=2O_{1}O = \sqrt{2}. AA，BB 是圆 O1O_{1} 上两点. 若 AA，BB 两点间的球面距离为 2π3\frac{2\pi}{3}，则 ∠AO1B=‾\angle AO_{1}B =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 陕西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的各顶点都在球 OO 的球面上，其中 AB:AD:AA1=1:1:2AB:AD:AA_{1} = 1:1:\sqrt{2}，AA，BB 两点的球面距离记为 mm，AA，D1D_{1} 两点的球面距离记为 nn，则 mn\frac{m}{n} 的值为______.

2008 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
水平桌面 α\alpha 上放有 4 个半径均为 2R2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）. 在这 4 个球的上面放 1 个半径为 RR 的小球，它和下面的 4 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 α\alpha 的距离是______.

2006 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★☆☆
水平桌面 α\alpha 上放有 44 个半径为 2R2R 的球. 且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）. 在这 44 个球的上面放 11 个半径为 RR 的小球，它和下面的 44 个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面 α\alpha 的距离是______.

2006 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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