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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知棱台的上，下底面均是有一个内角为 60∘60^\circ 的菱形，上，下底面的边长分别为 22，33，该棱台的高为 3\sqrt{3}，则其体积为（ ）
A.
1912\frac{19}{12}
B.
196\frac{19}{6}
C.
194\frac{19}{4}
D.
192\frac{19}{2}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 5 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，错误的是（ ）
A.
AC//A1C1AC//A_1C_1
B.
CC1⊥面ABCCC_1\perp \text{面} ABC
C.
ACD1//面A1C1BACD_1//\text{面} A_1C_1B
D.
ADD1⊥面ACD1ADD_1\perp \text{面} ACD_1

2026 · 天津 · 第 5 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与 xx 轴，yy 轴，zz 轴重合，顶点 AA 与坐标原点重合，点 CC 是正方体底面中与 AA 相对的对角顶点，点 C1C_1 在点 CC 的正上方. 将正方体绕直线 AC1AC_1 旋转一周，点 CC 的运动轨迹会经过（ ）个空间卦限.
A.
11
B.
33
C.
44
D.
77

2026 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若 mm 为直线，α\alpha，β\beta 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊂αn\subset \alpha，则 m∥nm\parallel n
B.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
C.
若 m∥αm\parallel\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
D.
若 m⊂αm\subset\alpha，α⊥β\alpha\perp\beta，则 m⊥βm\perp\beta

2025 · 天津 · 第 4 题 · 选择题

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13立体几何初步★☆☆☆☆
如图，ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）.
A.
ABAB 和 C1D1C_1D_1
B.
AA1AA_1 和 CC1CC_1
C.
BD1BD_1 和 B1DB_1D
D.
A1D1A_1D_1 和 ABAB

2025 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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055分立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3\sqrt3，则圆锥的体积为（ ）
A.
23π2\sqrt3\pi
B.
33π3\sqrt3\pi
C.
63π6\sqrt3\pi
D.
93π9\sqrt3\pi

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 523\frac{52}{3}，AB=6AB=6，A1B1=2A_1B_1=2，则 A1AA_1A 与平面 ABCABC 所成角的正切值为（ ）
A.
12\frac12
B.
11
C.
22
D.
33

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 是两个平面，mm，nn 是两条直线，且 α∩β=m\alpha\cap\beta=m. 下列四个命题：
① 若 m∥nm\parallel n，则 n∥αn\parallel\alpha 或 n∥βn\parallel\beta； ② 若 m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha 或 n⊥βn\perp \beta； ③ 若 n∥αn\parallel\alpha，且 n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 nn 与 α\alpha 和 β\beta 所成的角相等，则 m⊥nm\perp n.
其中所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
设 α\alpha，β\beta 为两个平面，mm，nn 为两条直线，且 α∩β=m\alpha\cap\beta=m. 下述四个命题：
① 若 m∥nm\parallel n，则 n∥αn\parallel\alpha 或 n∥βn\parallel\beta； ② 若 m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp\alpha 或 n⊥βn\perp\beta； ③ 若 n∥αn\parallel\alpha 且 n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n； ④ 若 nn 与 α\alpha，β\beta 所成的角相等，则 m⊥nm\perp n.
其中所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是边长为 4 的正方形，PA=PB=4PA=PB=4，PC=PD=22PC=PD=2\sqrt{2}，该棱锥的高为（ ）
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2024 · 北京 · 第 8 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
若 mm，nn 为两条不同的直线，α\alpha 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
B.
若 m⊥αm\perp \alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥αn\perp \alpha
C.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n
D.
若 m⊥αm\perp \alpha，n⊥αn\perp \alpha，则 m⊥nm\perp n

2024 · 天津 · 第 6 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
一个五面体 ABC−DEFABC-DEF. 已知 AD∥BE∥CFAD\parallel BE\parallel CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD=1AD=1，BE=2BE=2，CF=3CF=3. 则该五面体的体积为（ ）
A.
36\dfrac{\sqrt3}{6}
B.
334+12\dfrac{3\sqrt3}{4}+\dfrac12
C.
32\dfrac{\sqrt3}{2}
D.
334−12\dfrac{3\sqrt3}{4}-\dfrac12

2024 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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14立体几何初步★★☆☆☆
空间中有两个不同的平面 α\alpha，β\beta 和两条不同的直线 mm，nn，则下列说法中正确的是（ ）.
A.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，m⊥nm\perp n，则 n⊥βn\perp\beta
B.
若 α⊥β\alpha\perp\beta，m⊥αm\perp\alpha，n⊥βn\perp\beta，则 m⊥nm\perp n
C.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，n∥βn\parallel\beta，则 m∥nm\parallel n
D.
若 α∥β\alpha\parallel\beta，m∥αm\parallel\alpha，m∥nm\parallel n，则 n∥βn\parallel\beta

2024 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面是边长为 4 的正方形，PC=PD=3PC=PD=3，∠PCA=45∘\angle PCA=45^\circ，则 △PBC\triangle PBC 的面积为（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
424\sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的等边三角形，PA=PB=2PA=PB=2，PC=6PC=\sqrt{6}，则该棱锥的体积为（ ）
A.
11
B.
3\sqrt{3}
C.
22
D.
33

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形边长为 1，则该零件表面积为（ ）
A.
2424
B.
2626
C.
2828
D.
3030

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 11，则该零件的表面积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
2424
B.
2626
C.
2828
D.
3030

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素. 安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美. 如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形. 若 AB=25mAB=25\text{m}，BC=AD=10mBC=AD=10\text{m}，且等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面 ABCDABCD 的夹角的正切值均为 145\dfrac{\sqrt{14}}{5}，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A.
102m102\text{m}
B.
112m112\text{m}
C.
117m117\text{m}
D.
125m125\text{m}

2023 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，线段 PCPC 上的点 MM 满足 PM=13PCPM=\dfrac{1}{3}PC，线段 PBPB 上的点 NN 满足 PN=23PBPN=\dfrac{2}{3}PB，则三棱锥 P−AMNP-AMN 和三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积之比为（ ）
A.
19\dfrac{1}{9}
B.
29\dfrac{2}{9}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
49\dfrac{4}{9}

2023 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 PP 为线段 A1C1A_1C_1 上的动点，则下列直线中，始终与直线 BPBP 异面的是（ ）.
A.
DD1DD_1
B.
ACAC
C.
AD1AD_1
D.
B1CB_1C

2023 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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045分立体几何初步★★☆☆☆
南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔 148.5m148.5\text{m} 时，相应水面的面积为 140.0km2140.0\text{km}^2；水位为海拔 157.5m157.5\text{m} 时，相应水面的面积为 180.0km2180.0\text{km}^2. 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m148.5\text{m} 上升到 157.5m157.5\text{m} 时，增加的水量约为（7≈2.65\sqrt7\approx 2.65）（ ）
A.
1.0×109m31.0\times 10^9\text{m}^3
B.
1.2×109m31.2\times 10^9\text{m}^3
C.
1.4×109m31.4\times 10^9\text{m}^3
D.
1.6×109m31.6\times 10^9\text{m}^3

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台的高为 1，上，下底面边长分别为 333\sqrt3 和 434\sqrt3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A.
100π100\pi
B.
128π128\pi
C.
144π144\pi
D.
192π192\pi

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 11，则该多面体的体积为（ ）
A.
88
B.
1212
C.
1616
D.
2020

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 B1DB_1D 与平面 ABCDABCD 和平面 AA1B1BAA_1B_1B 所成角均为 30∘30^\circ，则（ ）
A.
AB=2ADAB=2AD
B.
ABAB 与平面 AB1C1DAB_1C_1D 所成的角为 30∘30^\circ
C.
AC=CB1AC=CB_1
D.
B1DB_1D 与平面 BB1C1CBB_1C_1C 所成的角为 45∘45^\circ

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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