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18立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求二面角 A−MA1−NA-MA_1-N 的正弦值.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA1=4AA_1=4，AB=2AB=2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ，EE，MM，NN 分别是 BCBC，BB1BB_1，A1DA_1D 的中点.
(1) 证明：MN∥MN\parallel 平面 C1DEC_1DE； (2) 求点 CC 到平面 C1DEC_1DE 的距离.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥平面EB1C1BE\perp \text{平面} EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，求二面角 B−EC−C1B-EC-C_1 的正弦值.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥BE\perp 平面 EB1C1EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，AB=3AB=3，求四棱锥 E−BB1C1CE-BB_1C_1C 的体积.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 11 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连接 DGDG，如图 22.
(1) 证明：图 22 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 22 中的二面角 B−CG−AB-CG-A 的大小.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
图 1 是由矩形 ADEBADEB，Rt△ABC\mathrm{Rt}\triangle ABC 和菱形 BFGCBFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1AB=1，BE=BF=2BE=BF=2，∠FBC=60∘\angle FBC=60^\circ. 将其沿 ABAB，BCBC 折起使得 BEBE 与 BFBF 重合，连结 DGDG，如图 2.
(1) 证明：图 2 中的 AA，CC，GG，DD 四点共面，且平面 ABC⊥ABC\perp 平面 BCGEBCGE； (2) 求图 2 中的四边形 ACGDACGD 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 PP-ABCDABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，AD⊥CDAD\perp CD，AD∥BCAD\parallel BC，PA=AD=CD=2PA=AD=CD=2，BC=3BC=3. EE 为 PDPD 的中点，点 FF 在 PCPC 上，且 PFPC=13\dfrac{PF}{PC}=\dfrac13.
(1) 求证：CD⊥CD\perp 平面 PADPAD； (2) 求二面角 FF-AEAE-PP 的余弦值； (3) 设点 GG 在 PBPB 上，且 PGPB=23\dfrac{PG}{PB}=\dfrac23. 判断直线 AGAG 是否在平面 AEFAEF 内，说明理由.

2019 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 平面 ABCDABCD，底面 ABCDABCD 为菱形，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：BD⊥BD\perp 平面 PACPAC； (2) 若 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ，求证：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PAEPAE； (3) 棱 PBPB 上是否存在点 FF，使得 CF∥CF\parallel 平面 PAEPAE？说明理由.

2019 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AE⊥AE\perp平面 ABCDABCD，CF∥AECF\parallel AE，AD∥BCAD\parallel BC，AD⊥ABAD\perp AB，AB=AD=1AB=AD=1，AE=BC=2AE=BC=2.
(1) 求证：BF∥BF\parallel平面 ADEADE； (2) 求直线 CECE 与平面 BDEBDE 所成角的正弦值； (3) 若二面角 E−BD−FE-BD-F 的余弦值为 13\dfrac{1}{3}，求线段 CFCF 的长.

2019 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 为平行四边形，△PCD\triangle PCD 为等边三角形，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 PCDPCD，PA⊥CDPA\perp CD，CD=2CD=2，AD=3AD=3.
(1) 设 GG，HH 分别为 PBPB，ACAC 的中点，求证：GH//GH// 平面 PADPAD； (2) 求证：PA⊥PA\perp 平面 PCDPCD； (3) 求直线 ADAD 与平面 PACPAC 所成角的正弦值.

2019 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，MM 为 BB1BB_1 上一点，已知 BM=2BM=2，AD=4AD=4，CD=3CD=3，AA1=5AA_1=5.
(1) 求直线 A1CA_1C 与平面 ABCDABCD 的夹角； (2) 求点 AA 到平面 A1MCA_1MC 的距离.

2019 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA=PB=PC=2PA=PB=PC=2，AB=BC=AC=3AB=BC=AC=\sqrt3.
(1) 若 PBPB 的中点为 MM，BCBC 的中点为 NN，求 ACAC 与 MNMN 的夹角； (2) 求 P−ABCP-ABC 的体积.

2019 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，DD，EE 分别为 BCBC，ACAC 的中点，AB=BCAB=BC.
求证：
(1) A1B1∥A_1B_1\parallel 平面 DEC1DEC_1； (2) BE⊥C1EBE\perp C_1E.

2019 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1，平面 A1AC1C⊥A_1AC_1C\perp 平面 ABCABC，∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ，∠BAC=30∘\angle BAC=30^\circ，A1A=A1C=ACA_1A=A_1C=AC，EE，FF 分别是 ACAC，A1B1A_1B_1 的中点.
(1) 证明：EF⊥BCEF\perp BC； (2) 求直线 EFEF 与平面 A1BCA_1BC 所成角的余弦值.

2019 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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