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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的底面为正方形，PD⊥PD\perp底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值的最大值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 底面为正方形，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD. 设平面 PADPAD 与平面 PBCPBC 的交线为 ll.
(1) 证明：l⊥l\perp 平面 PDCPDC； (2) 已知 PD=AD=1PD=AD=1，QQ 为 ll 上的点，QB=2QB=\sqrt2，求 PBPB 与平面 QCDQCD 所成角的正弦值.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，AEAE 为底面直径，AE=ADAE=AD. △ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，PO=66DOPO=\dfrac{\sqrt{6}}{6}DO.
(1) 证明：PA⊥PA\perp 平面 PBCPBC； (2) 求二面角 B−PC−EB-PC-E 的余弦值.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，DD 为圆锥的顶点，OO 是圆锥底面的圆心，△ABC\triangle ABC 是底面的内接正三角形，PP 为 DODO 上一点，∠APC=90∘\angle APC=90^{\circ}.
(1) 证明：平面 PAB⊥PAB\perp 平面 PACPAC； (2) 设 DO=2DO=\sqrt{2}，圆锥的侧面积为 3π\sqrt{3}\pi，求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 AO=ABAO=AB，求直线 B1EB_1E 与平面 A1AMNA_1AMN 所成角的正弦值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1CBB_1C_1C 是矩形，MM，NN 分别为 BCBC，B1C1B_1C_1 的中点，PP 为 AMAM 上一点. 过 B1C1B_1C_1 和 PP 的平面交 ABAB 于 EE，交 ACAC 于 FF.
(1) 证明：AA1∥MNAA_1\parallel MN，且平面 A1AMN⊥A_1AMN\perp 平面 EB1C1FEB_1C_1F； (2) 设 OO 为 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的中心. 若 AO=AB=6AO=AB=6，AO∥AO\parallel 平面 EB1C1FEB_1C_1F，且 ∠MPN=π3\angle MPN=\dfrac{\pi}{3}，求四棱锥 B−EB1C1FB-EB_1C_1F 的体积.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1.
(1) 证明：点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内； (2) 若 AB=2AB=2，AD=1AD=1，AA1=3AA_1=3，求二面角 A−EF−A1A-EF-A_1 的正弦值.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 EE，FF 分别在棱 DD1DD_1，BB1BB_1 上，且 2DE=ED12DE=ED_1，BF=2FB1BF=2FB_1. 证明：
(1) 当 AB=BCAB=BC 时，EF⊥ACEF\perp AC； (2) 点 C1C_1 在平面 AEFAEF 内.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，EE 为 BB1BB_1 的中点.
(1) 求证：BC1∥BC_1\parallel 平面 AD1EAD_1E； (2) 求直线 AA1AA_1 与平面 AD1EAD_1E 所成角的正弦值.

2020 · 北京 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，CC1⊥CC_1\perp 平面 ABCABC，AC⊥BCAC\perp BC，AC=BC=2AC=BC=2，CC1=3CC_1=3，点 DD，EE 分别在棱 AA1AA_1 和棱 CC1CC_1 上，且 AD=1AD=1，CE=2CE=2，MM 为棱 A1B1A_1B_1 的中点.
(1) 求证：C1M⊥B1DC_1M\perp B_1D； (2) 求二面角 B−B1E−DB-B_1E-D 的正弦值； (3) 求直线 ABAB 与平面 DB1EDB_1E 所成角的正弦值.

2020 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 11 的正方形，正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 旋转形成一个圆柱.
(1) 求该圆柱的表面积； (2) 正方形 ABCDABCD 绕 ABAB 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 至 ABC1D1ABC_1D_1，求线段 CD1CD_1 与平面 ABCDABCD 所成的角.

2020 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥 P−ABCDP-ABCD，底面 ABCDABCD 为正方形，边长为 33，PD⊥PD\perp 平面 ABCDABCD.
(1) 若 PC=5PC=5，求四棱锥 P−ABCDP-ABCD 的体积； (2) 若直线 ADAD 与 BPBP 的夹角为 60∘60^\circ，求 PDPD 的长.

2020 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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15立体几何初步★★★☆☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AB⊥ACAB\perp AC，B1C⊥B_1C\perp 平面 ABCABC，EE，FF 分别是 ACAC，B1CB_1C 的中点.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 AB1C1AB_1C_1； (2) 求证：平面 AB1C⊥AB_1C\perp 平面 ABB1ABB_1.

2020 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，已知 CB=CD=5CB=CD=\sqrt5，BD=2BD=2，OO 为 BDBD 的中点，AO⊥AO\perp 平面 BCDBCD，AO=2AO=2，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 求直线 ABAB 与 DEDE 所成角的余弦值； (2) 若点 FF 在 BCBC 上，满足 BF=14BCBF=\dfrac14BC，设二面角 F−DE−CF-DE-C 的大小为 θ\theta，求 sin⁡θ\sin\theta 的值.

2020 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱台 DEF−ABCDEF-ABC 中，面 ADFC⊥ADFC\perp 面 ABCABC，∠ACB=∠ACD=45∘\angle ACB=\angle ACD=45^\circ，DC=2BCDC=2BC.
(1) 证明：EF⊥DBEF\perp DB； (2) 求 DFDF 与面 DBCDBC 所成角的正弦值.

2020 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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