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1917分立体几何初步★★★☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积为 44，△A1BC\triangle A_1BC 的面积为 222\sqrt2.
(1) 求 AA 到平面 A1BCA_1BC 的距离； (2) 设 DD 为 A1CA_1C 的中点，AA1=ABAA_1=AB，平面 A1BC⊥A_1BC\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，求二面角 A−BD−CA-BD-C 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，POPO 是三棱锥 P−ABCP-ABC 的高，PA=PBPA=PB，AB⊥ACAB\perp AC，EE 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：OE∥平面 PACOE\parallel\text{平面 }PAC； (2) 若 ∠ABO=∠CBO=30∘\angle ABO=\angle CBO=30^\circ，PO=3PO=3，PA=5PA=5，求二面角 C−AE−BC-AE-B 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，CD∥ABCD\parallel AB，AD=DC=CB=1AD=DC=CB=1，AB=2AB=2，DP=3DP=\sqrt3.
(1) 证明：BD⊥PABD\perp PA； (2) 求 PDPD 与平面 PABPAB 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 ABCDABCD 是边长为 8 cm8\mathrm{~cm} 的正方形，△EAB\triangle EAB，△FBC\triangle FBC，△GCD\triangle GCD，△HDA\triangle HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 ABCDABCD 垂直.
(1) 证明：EF∥EF\parallel 平面 ABCDABCD； (2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB=\angle BDC，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：平面 BED⊥平面 ACD\text{平面 }BED\perp \text{平面 }ACD； (2) 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上. 当 △AFC\triangle AFC 面积最小时，求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠CDB\angle ADB=\angle CDB，EE 为 ACAC 的中点.
① 证明：平面 BED⊥BED\perp 平面 ACDACD；
② 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上，当 △AFC\triangle AFC 的面积最小时，求三棱锥 F−ABCF-ABC 的体积.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BCC1B1BCC_1B_1 为正方形，平面 BCC1B1⊥BCC_1B_1\perp 平面 ABB1A1ABB_1A_1，AB=BC=2AB=BC=2，MM，NN 分别为 A1B1A_1B_1，ACAC 的中点.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BCC1B1BCC_1B_1； (2) 再从下列两个条件中选择一个作为已知，求直线 ABAB 与平面 BMNBMN 所成角的正弦值.
① AB⊥MNAB\perp MN； ② BM=MNBM=MN.

2022 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 中，AC⊥ABAC\perp AB，点 DD，EE，FF 分别为 A1B1A_1B_1，AA1AA_1，CDCD 的中点，AB=AC=AA1=2AB=AC=AA_1=2.
(1) 求证：EF∥EF\parallel 平面 ABCABC； (2) 求直线 BEBE 与平面 CC1DCC_1D 所成角的正弦值； (3) 求平面 A1CDA_1CD 与平面 CC1DCC_1D 所成二面角的余弦值.

2022 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知三棱锥 P−ABCP-ABC，底面 ABCABC 为等边三角形，OO 为 ACAC 的中点，AP=AC=2AP=AC=2，且 PO⊥PO\perp 底面 ABCABC.
(1) 求三棱锥 P−ABCP-ABC 的体积 VV； (2) 若 MM 为 BCBC 中点，求 PMPM 与平面 PACPAC 所成角的大小.

2022 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，在圆柱 OO1OO_1 中，底面半径为 11，AA1AA_1 为圆柱 OO1OO_1 的母线.
(1) 若 AA1=4AA_1=4，MM 为 AA1AA_1 的中点，求直线 MO1MO_1 与底面的夹角大小； (2) 若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

2022 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知 ABCDABCD 和 CDEFCDEF 都是直角梯形，AB∥DCAB\parallel DC，DC∥EFDC\parallel EF，AB=5AB=5，DC=3DC=3，EF=1EF=1，∠BAD=∠CDE=60∘\angle BAD=\angle CDE=60^\circ，二面角 F−DC−BF-DC-B 的平面角为 60∘60^\circ. 设 MM，NN 分别为 AEAE，BCBC 的中点.
(1) 证明：FN⊥ADFN\perp AD； (2) 求直线 BMBM 与平面 ADEADE 所成角的正弦值.

2022 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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