已知正三棱台 $ABC - A_1B_1C_1$ 的体积为 $\frac{52}{3}$, $AB = 6$, $A_1B_1 = 2$, 则 $A_1A$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为 ( )

如图, 四棱锥 $P-ABCD$ 中, $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $PA = AC = 2$, $BC = 1$, $AB = \sqrt{3}$. (1) 若 $AD \parallel PB$, 证明: $AD \perp$ 平面 $PBC$; (2) 若 $AD \perp DC$, 且二面角 $A-CP-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $AD$.

如图, 在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中, 四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形, $EF \parallel AD$, $BC \parallel AD$, $AD = 4$, $AB = BC = EF = 2$, $ED = \sqrt{10}$, $FB = 2\sqrt{3}$, $M$ 为 $AD$ 的中点. (1) 证明: $BM \parallel$ 平面 $CDE$; (2) 求二面角 $F - BM - E$ 的正弦值.