已知 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形, $AB$ 为斜边, $\triangle ABD$ 为等边三角形, 若二面角 $C\text{-}AB\text{-}D$ 为 $150°$, 则直线 $CD$ 与平面 $ABC$ 所成角的正切值为 （ ）

如图，在三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$A_{1}C\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AA_{1}=2$，$A_{1}$ 到平面 $BCC_{1}B_{1}$ 的距离为 $1$。

（1）证明：$A_{1}C=AC$；

（2）已知 $AA_{1}$ 与 $BB_{1}$ 的距离为 $2$，求 $AB_{1}$ 与平面 $BCC_{1}B_{1}$ 所成角的正弦值。