棱台上下底面均为有一个内角是 $60^\circ$ 的菱形，且上下底面边长分别为 $2$ 和 $3$，该棱台的高为 $\sqrt{3}$，则该棱台体积为（ ）

球 $O$ 的体积为 $4\sqrt{3}\pi$，$A$，$B$，$C$，$D$ 四点均在球 $O$ 的球面上，$\triangle ABC$ 为等边三角形，$DA=DB=DC=\sqrt{2}$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 ______。