某科技兴趣小组用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体, 其中 $ABCDEF$ 是一个平面多边形, 平面 $AFR \perp$ 平面 $ABC$, 平面 $CDT \perp$ 平面 $ABC$, $AB \perp BC$, $AB \parallel EF \parallel RS \parallel CD$, $BC \parallel DE \parallel ST \parallel AF$。若 $AB = BC = 8$, $AF = CD = 4$, $RA = RF = TC = TD = \frac{5}{2}$, 则该多面体的体积为______。

如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形, $PA = PB = 4, PC = PD = 2\sqrt{2}$。该棱锥的高为 $(\quad)$

汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器, 其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱。若升、斗、斛量器的容积成公比为 $10$ 的等比数列, 底面直径依次为 $65\text{ mm}, 325\text{ mm}, 325\text{ mm}$, 且斛量器的高为 $230\text{ mm}$, 则斗量器的高为 ______ $\text{mm}$, 升量器的高为 ______ $\text{mm}$。(不计量器的厚度)

已知正三棱锥 $P-ABC$ 的六条棱长均为 6, $S$ 是 $\triangle ABC$ 及其内部的点构成的集合, 设集合 $T = \{Q \in S \mid PQ \leqslant 5\}$, 则 $T$ 表示的区域的面积为 （ ）