棱台上下底面均为有一个内角是 $60^\circ$ 的菱形，且上下底面边长分别为 $2$ 和 $3$，该棱台的高为 $\sqrt{3}$，则该棱台体积为（ ）

在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2$，$AA_1 = 3$，$AD = 4$，$A_1E = 3ED_1$，$2C_1F = FC$。

(1) 求证：$BA_1 \perp \text{面} AEF$；

(2) 求面 $AEF$ 与面 $ABC$ 的夹角的余弦值；

(3) 求三棱锥 $A - A_1EF$ 的体积。