如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, $BC \parallel AD, AB = BC = 1, AD = 3$。点 $E$ 在 $AD$ 上, 且 $PE \perp AD, PE = DE = 2$。

(1) 若 $F$ 为线段 $PE$ 的中点, 求证: $BF \parallel$ 平面 $PCD$;

(2) 若 $AB \perp$ 平面 $PAD$, 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值。

2024北京卷 · 第 17 题 · 解答题

如图, 平面四边形 $ABCD$ 中, $AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ$, 点 $E, F$ 满足 $\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 翻折至 $\triangle PEF$, 使得 $PC = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明: $EF \perp PD$;

(2) 求面 $PCD$ 与面 $PBF$ 所成的二面角的正弦值.

2024新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题