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共找到 53 题
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03三角函数★☆☆☆☆
已知 sin⁡α=15\sin \alpha=\frac{1}{5}，则 cos⁡2α=‾\cos 2\alpha=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
已知三角函数 f(t)=Asin⁡(ωt+φ)+Bf(t)=A\sin\left( \omega t+\varphi \right)+B（A>0A>0，B∈RB\in \mathbf{R}，ω>0\omega>0，0≤φ<2π0\le \varphi<2\pi），若 ν=f(t)\nu=f(t)，当 ν=0\nu=0 或 ν=4\nu=4 时其导数为 00，初始速度为 00，且速度第一次达到 44 时用时为 0.10.1 秒，则 f(t)=‾f(t)=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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05三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡xy=\cos x 在 [−π2,π4][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}] 上的值域为______.

2025 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
小申同学观察发现，生活中有时候影子可以完全投射在斜面上. 某斜面上有两根长为 11 米且垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 AA，BB，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中 AA 处杆子的影子在水平面上，长度为 0.40.4 米，BB 处杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.450.45 米. 则斜面的坡角 θ=\theta=______（结果精确到 0.01∘0.01^\circ）.

2025 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
海上有灯塔 OO，AA，BB 和船只 TT，AA 在 OO 的正东方向，BB 在 OO 的正北方向，OA=OBOA=OB，OO，AA，TT，BB 按逆时针排列. 若 ∠ATO=37∘\angle ATO=37^\circ，∠BTO=16.5∘\angle BTO=16.5^\circ，则 ∠BOT=\angle BOT=______（精确到 0.1∘0.1^\circ）.

2024 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
若 tan⁡A=3\tan A=3，则 tan⁡2A=‾\tan 2A=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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08三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc. 若 a=4a=4，b=5b=5，c=6c=6，则 sin⁡A=‾\sin A=\underline{\hspace{2em}}.

2023 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
某公园欲建设一段斜坡，斜坡面是一平面，坡面与水平地面所成角为 θ\theta，坡顶距离水平地面的垂直高度为 44 米，游客从坡底沿着斜坡面向上直行，每走 11 米消耗的体力为 1.025−cos⁡θ1.025-\cos\theta，当 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}} 时，游客走斜坡所消耗的总体力最小.

2023 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
函数 y=cos⁡2x−sin⁡2x+1y=\cos^2x-\sin^2x+1 的最小正周期为______.

2022 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
设 α1\alpha_1，α2∈R\alpha_2\in\mathbf{R}，且 12+sin⁡α1+12+sin⁡(2α2)=2\dfrac1{2+\sin\alpha_1}+\dfrac1{2+\sin(2\alpha_2)}=2，则 ∣10π−α1−α2∣\lvert10\pi-\alpha_1-\alpha_2\rvert 的最小值等于______.

2017 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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07三角函数★★★☆☆
方程 3sin⁡x=1+cos⁡2x3\sin x=1+\cos2x 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的解为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长分别为 33，55，77，则该三角形的外接圆半径等于______.

2016 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，c∈[0,2π)c\in[0,2\pi)，若对任意实数 xx 都有 2sin⁡ ⁣(3x−π3)=asin⁡(bx+c)2\sin\!\left(3x-\dfrac{\pi}{3}\right)=a\sin(bx+c)，则满足条件的有序实数组 (a,b,c)(a,b,c) 的组数为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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05三角函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=4sin⁡x+acos⁡xf(x)=4\sin x+a\cos x 的最大值为 55，则常数 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 上海 · 文 · 第 5 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
方程 3sin⁡x=1+cos⁡2x3\sin x=1+\cos2x 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的解为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长分别为 33，55，77，则该三角形的外接圆半径等于______.

2016 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \cdots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \cdots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，tan⁡A=12\tan A = \frac{1}{2}，DD 为边 BCBC 上的点，△ABD\triangle ABD 与 △ACD\triangle ACD 的面积分别为 2 和 4. 过 DD 作 DE⊥ABDE \perp AB 于 EE，DF⊥ACDF \perp AC 于 FF，则 DE→⋅DF→=\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =______.

2015 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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01三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=1−3sin⁡2xf(x)=1-3\sin^{2}x 的最小正周期为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，…\dots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=1−2cos⁡2(2x)y = 1 - 2\cos^2(2x) 的最小正周期是______.

2014 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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12三角函数★★★★☆
设常数 aa 使方程 sin⁡x+3cos⁡x=a\sin x + \sqrt{3}\cos x = a 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上恰有三个解 x1x_1，x2x_2，x3x_3，则 x1+x2+x3=‾x_1 + x_2 + x_3 =\underline{\hspace{2em}}.

2014 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=1−2cos⁡2(2x)y = 1 - 2\cos^{2}(2x) 的最小正周期是______.
\begin{answer} π2\frac{\pi}{2} \end{answer}
\begin{solution} 由降幂公式，y=1−(1+cos⁡4x)=−cos⁡4xy=1-\left(1+\cos4x\right)=-\cos4x. 函数 cos⁡4x\cos4x 的最小正周期为 2π4=π2\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}，乘以 −1-1 不改变周期，因此所求最小正周期为 π2\dfrac{\pi}{2}. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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12三角函数★★★☆☆
方程 sin⁡x+3cos⁡x=1\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1 在区间 [0,2π][0, 2\pi] 上的所有解的和等于______.
\begin{answer} 7π3\frac{7\pi}{3} \end{answer}
\begin{solution} 由辅助角公式，sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡(x+π3)\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)，故方程等价于 sin⁡(x+π3)=12\sin\left(x+\dfrac\pi3\right)=\dfrac12. 令 t=x+π3t=x+\dfrac\pi3，则 t∈[π3,7π3]t\in\left[\dfrac\pi3,\dfrac{7\pi}3\right]. 在此区间内，只有 t=5π6t=\dfrac{5\pi}6 和 t=13π6t=\dfrac{13\pi}6 满足正弦值为 12\dfrac12，所以 x=π2x=\dfrac\pi2 或 x=11π6x=\dfrac{11\pi}6. 所有解的和为 π2+11π6=7π3\dfrac\pi2+\dfrac{11\pi}6=\dfrac{7\pi}3. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 3a2+2ab+3b2−3c2=03a^2+2ab+3b^2-3c^2=0，则角 CC 的大小是______. （结果用反三角函数值表示） \begin{answer} π−arccos⁡(13)\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right) \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理，
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2=a^2+b^2-2ab\cos C
将其代入题设条件，得
3a2+2ab+3b2−3(a2+b2−2abcos⁡C)=03a^2+2ab+3b^2-3(a^2+b^2-2ab\cos C)=0
即 2ab(1+3cos⁡C)=02ab(1+3\cos C)=0. 三角形边长 aa，b>0b>0，故
cos⁡C=−13\cos C=-\frac{1}{3}
由于 0<C<π0<C<\pi，
C=arccos⁡(−13)=π−arccos⁡(13)C=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)=\pi-\arccos\left(\frac{1}{3}\right)
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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