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19解析几何★★★★☆
如图，AD=BC=6AD=BC=6，AB=20AB=20，∠DAB=∠ABC=120∘\angle DAB=\angle ABC=120^\circ，OO 为 ABAB 中点，曲线 CDCD 上任意一点到点 OO 的距离均相等，PP，MM，QQ 为曲线 CDCD 上的点，且 MO⊥ABMO\perp AB，点 PP 与点 QQ 关于直线 OMOM 对称.
(1) 若点 PP 与点 CC 重合，求 ∠POB\angle POB 的大小； (2) 点 PP 在何位置时，五边形 CPMQDCPMQD 的面积 SS 取到最大值，并求出该最大值.

2022 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 a=3a=3，b=2cb=2c.
(1) 若 A=2π3A=\frac{2\pi}{3}，求 S△ABCS_{\triangle ABC}； (2) 若 2sin⁡B−sin⁡C=12\sin B-\sin C=1，求 C△ABCC_{\triangle ABC}.

2021 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin\omega x，ω>0\omega>0.
(1) f(x)f(x) 的周期是 4π4\pi，求 ω\omega，并求 f(x)=12f(x)=\frac12 的解集； (2) 已知 ω=1\omega=1，g(x)=f2(x)+3 f(−x)f ⁣(π2−x)g(x)=f^2(x)+\sqrt3\,f(-x)f\!\left(\frac\pi2-x\right)，x∈[0,π4]x\in\left[0,\frac\pi4\right]，求 g(x)g(x) 的值域.

2020 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段 ABAB 和四分之一圆弧 BC^\widehat{BC} 构成，DD 为一海岛，BB 在 DD 的正北方向，且 BB，DD 相距 39.2 千米39.2\text{ 千米}，AA 在 DD 的北偏西 58∘58^\circ 方向，CC 在 DD 的北偏东 22∘22^\circ 方向，CC 在 BB 的南偏东 68∘68^\circ 方向.
(1) 若沿弧 BC^\widehat{BC} 建观光道，计算该观光道的长度；（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}） (2) 现规划在该海岸线上选取一点 EE，修建从 EE 直通 DD 的公路桥，已知 AA，BB 相距 40 千米40\text{ 千米}，求公路桥 DEDE 的最短长度.（精确到 0.001 千米0.001\text{ 千米}）

2019 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2x+12f(x)=\cos^2x-\sin^2x+\dfrac12，x∈(0,π)x\in(0,\pi).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 设 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，角 AA 所对边 a=19a=\sqrt{19}，角 BB 所对边 b=5b=5. 若 f(A)=0f(A)=0，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2017 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米）.

2014 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，某公司要在 AA，BB 两地连线上的定点 CC 处建造广告牌 CDCD，其中 DD 为顶端，ACAC 长 35 米35\text{ 米}，CBCB 长 80 米80\text{ 米}. 设点 AA，BB 在同一水平面上，从 AA 和 BB 看 DD 的仰角分别为 α\alpha 和 β\beta.
(1) 设计中 CDCD 是铅垂方向. 若要求 α⩾2β\alpha \geqslant 2\beta，问 CDCD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）？ (2) 施工完成后，CDCD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 α=38.12∘\alpha = 38.12^{\circ}，β=18.45∘\beta = 18.45^{\circ}，求 CDCD 的长（结果精确到 0.01 米0.01\text{ 米}）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 CD=h 米CD=h\text{ 米}. 因为 CDCD 铅垂，所以在两个直角三角形中有 tan⁡α=h35\tan\alpha=\dfrac h{35}、tan⁡β=h80\tan\beta=\dfrac h{80}. 由 α⩾2β\alpha\geqslant2\beta 且 α<π2\alpha<\dfrac\pi2，可知 2β<π22\beta<\dfrac\pi2，故 h<80h<80，正切函数在相关区间上单调递增. 因此 h35⩾tan⁡2β=2tan⁡β1−tan⁡2β=2h801−h2802\dfrac h{35}\geqslant\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2\frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}. 由于 h>0h>0 且 h<80h<80，可约去 hh，并得到 135⩾2801−h2802=140(1−h26400)\dfrac1{35}\geqslant\dfrac{\frac{2}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}=\dfrac1{40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)}. 分母为正，交叉相乘得 40(1−h26400)⩾3540\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)\geqslant35，即 h2⩽800h^2\leqslant800. 所以 h⩽202≈28.2843h\leqslant20\sqrt2\approx28.2843，故 CDCD 至多为 28.28 米28.28\text{ 米}. \item 由 AB=AC+CB=115 米AB=AC+CB=115\text{ 米}，在三角形 ADBADB 中有 ∠DAB=38.12∘\angle DAB=38.12^{\circ}、∠ABD=18.45∘\angle ABD=18.45^{\circ}. 由正弦定理， BDsin⁡38.12∘=115sin⁡(38.12∘+18.45∘)\dfrac{BD}{\sin38.12^{\circ}}=\dfrac{115}{\sin\left(38.12^{\circ}+18.45^{\circ}\right)}，所以 BD=115sin⁡38.12∘sin⁡56.57∘≈85.0637 米BD=\dfrac{115\sin38.12^{\circ}}{\sin56.57^{\circ}}\approx85.0637\text{ 米}. 在三角形 BCDBCD 中，BC=80 米BC=80\text{ 米}，且 ∠CBD=18.45∘\angle CBD=18.45^{\circ}. 由余弦定理， CD2=BC2+BD2−2⋅BC⋅BDcos⁡18.45∘CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos18.45^{\circ}，从而 CD≈802+85.06372−2⋅80⋅85.0637cos⁡18.45∘≈26.9296 米CD\approx\sqrt{80^2+85.0637^2-2\cdot80\cdot85.0637\cos18.45^{\circ}}\approx26.9296\text{ 米}. 精确到 0.01 米0.01\text{ 米} 得 CD=26.93 米CD=26.93\text{ 米}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x)=2\sin\omega x. 其中常数 ω>0\omega>0.
(1) 若 y=f(x)y=f(x) 在 [−π4,2π3]\left[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，求 ω\omega 的取值范围； (2) 令 ω=2\omega=2，将函数 y=f(x)y=f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象. 区间 [a,b][a,b] （aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 a<ba<b）满足：y=g(x)y=g(x) 在 [a,b][a,b] 上至少含有 3030 个零点. 在所有满足上述条件的 [a,b][a,b] 中，求 b−ab-a 的最小值.

2013 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x) = 2\sin \omega x. 其中常数 ω>0\omega > 0.
(1) 令 ω=1\omega = 1，判断函数 F(x)=f(x)+f(x+π2)F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的奇偶性并说明理由； (2) 令 ω=2\omega = 2，将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 对任意的 a∈Ra \in \mathbf{R}，求 y=g(x)y = g(x) 在区间 [a,a+10π][a, a + 10\pi] 上零点个数的所有可能值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 ω=1\omega=1 时，f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x，所以
F(x)=2sin⁡x+2sin⁡(x+π2)=2sin⁡x+2cos⁡xF(x)=2\sin x+2\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin x+2\cos x
于是 F(−x)=2cos⁡x−2sin⁡xF(-x)=2\cos x-2\sin x. 又 F(0)=2≠−2=−F(0)F(0)=2\neq-2=-F(0)，故 F(x)F(x) 不是奇函数；并且 F(π2)=2F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2，F(−π2)=−2F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2，故 F(x)F(x) 不是偶函数. 因此 F(x)F(x) 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 ω=2\omega=2 时，f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin2x. 图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 后，横坐标 xx 处的函数值为 f(x+π6)f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)，再向上平移 11 个单位，故
g(x)=2sin⁡(2x+π3)+1g(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1
令 g(x)=0g(x)=0，得
sin⁡(2x+π3)=−12\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
因此 2x+π3=−π6+2kπ或2x+π3=7π6+2kπ2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z} 即零点为 x=−π4+kπ或x=5π12+kπx=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 函数 g(x)g(x) 的周期为 π\pi，每个周期内有两个零点. 区间 [a,a+10π][a,a+10\pi] 的长度是 1010 个周期，因此当 aa 不是零点时，区间内有 2020 个零点；当 aa 是零点时，a+10πa+10\pi 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 2121 个零点. 故所有可能值为 2020，2121. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19三角函数★★☆☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简： lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg \left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) + \lg \left[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right] - \lg (1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣|x - m| > |y - m|，则称 xx 比 yy 远离 mm.
(1) 若 x2−1x^{2} - 1 比 1 远离 0，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明： a3+b3a^3 + b^3 比 a2b+ab2a^2b + ab^2 远离 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R}D = \left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R} \right\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 中远离 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的基本性质 （结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简：lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg\left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) + \lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] - \lg(1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22三角函数★★★★☆
(1) 若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣<∣y−m∣|x - m| < |y - m|，则称 xx 比 yy 接近 mm. 若 x2−1x^{2} - 1 比 33 接近 00，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明：a2b+ab2a^{2}b + ab^{2} 比 a3+b3a^{3} + b^{3} 接近 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ,k∈Z,x∈R}D = \{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R}\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 1+sin⁡x1 + \sin x 和 1−sin⁡x1 - \sin x 中接近 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的奇偶性，最小正周期，最小值和单调性（结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，设向量 m=(a,b)\boldsymbol{m} = (a, b)，n=(sin⁡B,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\sin B, \sin A)，p=(b−2,a−2)\boldsymbol{p} = (b - 2, a - 2).
(1) 若 m∥n\boldsymbol{m} \parallel \boldsymbol{n}，求证：△ABC\triangle ABC 为等腰三角形； (2) 若 m⊥p\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{p}，边长 c=2c = 2，角 C=π3C = \frac{\pi}{3}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120∘120^{\circ} 的扇形 AOBAOB. 小区的两个出入口设置在点 AA 及点 CC 处，且小区里有一条平行于 BOBO 的小路 CDCD，已知某人从 CC 沿 CDCD 走到 DD 用了 1010 分钟，从 DD 沿 DADA 走到 AA 用了 66 分钟，若此人步行的速度为每分钟 5050 米，求该扇形的半径 OAOA 的长. （精确到 11 米）

2008 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，g(x)=cos⁡(2x+π6)g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right). 直线 x=tx=t（t∈Rt\in\mathbf{R}）与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象分别交于 MM，NN 两点.
(1) 当 t=π4t = \frac{\pi}{4} 时，求 ∣MN∣|MN| 的值； (2) 求 ∣MN∣\left|MN\right| 在 t∈[0,π2]t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时的最大值.

2008 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOCAOC. 小区的两个出入口设置在点 AA 及点 CC 处，小区里有两条笔直的小路 ADAD，DCDC，且拐弯处的转角为 120∘120^{\circ}. 已知某人从 CC 沿 CDCD 走到 DD 用了 10 分钟10\text{ 分钟}，从 DD 沿 DADA 走到 AA 用了 6 分钟6\text{ 分钟}. 若此人步行的速度为每分钟 50 米50\text{ 米}，求该扇形的半径 OAOA 的长.（精确到 1 米1\text{ 米}）

2008 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x，g(x)=cos⁡(2x+π6)g(x) = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)，直线 x=tx = t（t∈Rt \in \mathbf{R}）与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的图象分别交于 MM，NN 两点.
(1) 当 t=π4t = \frac{\pi}{4} 时，求 ∣MN∣|MN| 的值； (2) 求 ∣MN∣\left|MN\right| 在 t∈[0,π2]t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时的最大值.

2008 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别是三个内角 AA，BB，CC 的对边. 若 a=2a = 2，C=π4C = \frac{\pi}{4}，cos⁡B2=255\cos \frac{B}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}，求 △ABC\triangle ABC 的面积 SS.

2007 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
求函数 y=2cos⁡(x+π4)cos⁡(x−π4)+3sin⁡2xy = 2\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{3} \sin 2x 的值域和最小正周期.

2006 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，当甲船位于 AA 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里20\text{ 海里} 的 BB 处有一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30∘30^{\circ}，相距 10 海里10\text{ 海里} 的 CC 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 BB 处救援. （角度精确到 1∘1^{\circ}）

2006 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 是第一象限的角，且 cos⁡α=513\cos \alpha = \frac{5}{13}，求 sin⁡(α+π4)cos⁡(2α+4π)\frac{\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)}{\cos(2\alpha + 4\pi)} 的值.

2006 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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