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1715分三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 cos⁡B=34\cos B=\frac{3}{4}，cos⁡2(A+C)+sin⁡Asin⁡C=1\cos^2\left( A+C \right)+\sin A\sin C=1.
(1) 证明：△ABC\triangle ABC 为钝角三角形； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 74\frac{\sqrt{7}}{4}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 17 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(2x+φ)f(x)=\cos(2x+\varphi)（0≤φ<π0\le \varphi<\pi），且 f(0)=12f(0)=\frac12.
(1) 求 φ\varphi； (2) 设函数 g(x)=f(x)+f(x−π6)g(x)=f(x)+f\left(x-\frac{\pi}{6}\right)，求 g(x)g(x) 的值域和单调区间.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 b2+c2−a2cos⁡A=2\dfrac{b^2+c^2-a^2}{\cos A}=2.
(1) 求 bcbc； (2) 若 acos⁡B−bcos⁡Aacos⁡B+bcos⁡A−bc=1\dfrac{a\cos B-b\cos A}{a\cos B+b\cos A}-\dfrac{b}{c}=1，求 △ABC\triangle ABC 面积.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A+C2=bsin⁡Aa\sin\frac{A+C}{2}=b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，且 c=1c=1，求 △ABC\triangle ABC 面积的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，且 cos⁡Aa+cos⁡Bb=sin⁡Cc\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}.
(1) 证明：sin⁡Asin⁡B=sin⁡C\sin A\sin B=\sin C； (2) 若 b2+c2−a2=65bcb^2+c^2-a^2=\dfrac65bc，求 tan⁡B\tan B.

2016 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，且 cos⁡Aa+cos⁡Bb=sin⁡Cc\dfrac{\cos A}{a}+\dfrac{\cos B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}.
(1) 证明：sin⁡Asin⁡B=sin⁡C\sin A\sin B=\sin C； (2) 若 b2+c2−a2=65bcb^2+c^2-a^2=\dfrac65bc，求 tan⁡B\tan B.

2016 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC，DD 为平面四边形 ABCDABCD 的四个内角.
(1) 证明：tan⁡A2=1−cos⁡Asin⁡A\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}； (2) 若 A+C=180∘A + C = 180^{\circ}，AB=6AB = 6，BC=3BC = 3，CD=4CD = 4，AD=5AD = 5， 求 tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡C2+tan⁡D2\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{D}{2} 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 AA 是四边形的内角，所以 0<A<π0<A<\pi，从而 sin⁡A>0\sin A>0. 利用平方差公式，
1−cos⁡Asin⁡A=(1−cos⁡A)(1+cos⁡A)sin⁡A(1+cos⁡A)=sin⁡2Asin⁡A(1+cos⁡A)=sin⁡A1+cos⁡A=tan⁡A2\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{\sin A(1+\cos A)} =\frac{\sin^2A}{\sin A(1+\cos A)} =\frac{\sin A}{1+\cos A} =\tan\frac A2
\item 由 A+C=180∘A+C=180^{\circ}，四边形 ABCDABCD 为圆内接四边形，且 B+D=180∘B+D=180^{\circ}. 令其面积为 KK，半周长为 ss，则 s=6+3+4+52=9s=\dfrac{6+3+4+5}{2}=9. 由布拉马古普塔公式，
K=(s−6)(s−3)(s−4)(s−5)=3⋅6⋅5⋅4=610K=\sqrt{(s-6)(s-3)(s-4)(s-5)}=\sqrt{3\cdot6\cdot5\cdot4}=6\sqrt{10}
沿对角线分割四边形，并利用 sin⁡C=sin⁡A\sin C=\sin A，得
K=12⋅6⋅5sin⁡A+12⋅3⋅4sin⁡C=21sin⁡AK=\frac12\cdot6\cdot5\sin A+\frac12\cdot3\cdot4\sin C=21\sin A
所以 sin⁡A=2107\sin A=\dfrac{2\sqrt{10}}7. 同理，利用 sin⁡D=sin⁡B\sin D=\sin B，得
K=12⋅6⋅3sin⁡B+12⋅5⋅4sin⁡D=19sin⁡BK=\frac12\cdot6\cdot3\sin B+\frac12\cdot5\cdot4\sin D=19\sin B
所以 sin⁡B=61019\sin B=\dfrac{6\sqrt{10}}{19}.
又 tan⁡C2=cot⁡A2\tan\dfrac C2=\cot\dfrac A2，tan⁡D2=cot⁡B2\tan\dfrac D2=\cot\dfrac B2，而 tan⁡t2+cot⁡t2=2sin⁡t\tan\dfrac t2+\cot\dfrac t2=\dfrac2{\sin t}. 因而所求为
2sin⁡A+2sin⁡B=710+19310=4103\frac2{\sin A}+\frac2{\sin B}=\frac7{\sqrt{10}}+\frac{19}{3\sqrt{10}}=\frac{4\sqrt{10}}3
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

2015 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(3x+π4)f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 α\alpha 是第二象限角，f(α3)=45cos⁡(α+π4)cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha，求 cos⁡α−sin⁡α\cos \alpha - \sin \alpha 的值.

2014 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(3x+π4)f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 α\alpha 是第二象限角，f(α3)=45cos⁡(α+π4)cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha，求 cos⁡α−sin⁡α\cos \alpha - \sin \alpha 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item y=sin⁡ty=\sin t 在区间 [−π2+2kπ,π2+2kπ]\left[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right] 上单调递增. 令 t=3x+π4t=3x+\frac\pi4，则 −π2+2kπ⩽3x+π4⩽π2+2kπ-\frac\pi2+2k\pi\leqslant3x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 解得 [2kπ3−π4,2kπ3+π12]\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac\pi4,\frac{2k\pi}{3}+\frac\pi{12}\right]，k∈Zk\in\mathbf{Z}，这就是 f(x)f(x) 的单调递增区间. \item 因为 f(α3)=sin⁡(α+π4)f\left(\frac\alpha3\right)=\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)，设 u=sin⁡α+cos⁡αu=\sin\alpha+\cos\alpha，v=cos⁡α−sin⁡αv=\cos\alpha-\sin\alpha. 已知等式化为
u2=45v2cos⁡2α\frac{u}{\sqrt2}=\frac45\frac{v}{\sqrt2}\cos2\alpha
又 cos⁡2α=(cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)=uv\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)=uv，所以 u=45uv2u=\frac45uv^2. 若 u=0u=0，则 v=−2v=-\sqrt2. 若 u≠0u\neq0，则 v2=54v^2=\frac54. 由于 α\alpha 是第二象限角，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，故 v=−52v=-\frac{\sqrt5}{2}. 因此 cos⁡α−sin⁡α=−2\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2 或 −52-\frac{\sqrt5}{2}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2cos⁡2A−B2cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡B+cos⁡(A+C)=−352\cos^2\frac{A - B}{2}\cos B - \sin (A - B)\sin B + \cos (A + C) = -\frac{3}{5}.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 若 a=42a = 4\sqrt{2}，b=5b = 5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡(A−B)cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡(A+C)=−35\cos\left(A-B\right)\cos B-\sin\left(A-B\right)\sin\left(A+C\right)=-\frac35.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 若 a=42a=4\sqrt2，b=5b=5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=6cos⁡2(ωx2)+3sin⁡ωx−3f(x)=6\cos^2\left(\frac{\omega x}{2}\right)+\sqrt{3}\sin\omega x-3（ω>0\omega>0）在一个周期内的图象如图所示，AA 为图象的最高点，BB，CC 为图象与 xx 轴的交点，且 △ABC\triangle ABC 为正三角形.
(1) 求 ω\omega 的值及函数 f(x)f(x) 的值域； (2) 若 f(x0)=835f(x_0) = \frac{8\sqrt{3}}{5}，且 x0∈(−103,23)x_0 \in \left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)，求 f(x0+1)f(x_0 + 1) 的值.

2012 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x2−sin⁡x2cos⁡x2−12f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期和值域. (2) 若 f(α)=3210f(\alpha)=\frac{3\sqrt{2}}{10}，求 sin⁡2α\sin 2\alpha 的值.

2012 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x+7π4)+cos⁡(x−3π4)f(x) = \sin \left( x + \frac{7\pi}{4} \right) + \cos \left( x - \frac{3\pi}{4} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 已知 cos⁡(β−α)=45\cos(\beta-\alpha)=\frac{4}{5}，cos⁡(β+α)=−45\cos(\beta+\alpha)=-\frac{4}{5}，0<α<β⩽π20 < \alpha < \beta \leqslant \frac{\pi}{2}，求证： [f(β)]2−2=0\left[f(\beta)\right]^2 - 2 = 0.

2011 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x+7π4)+cos⁡(x−3π4)f(x) = \sin \left( x + \frac{7\pi}{4} \right) + \cos \left( x - \frac{3\pi}{4} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最小值； (2) 已知 cos⁡(β−α)=45\cos(\beta - \alpha) = \frac{4}{5}，cos⁡(β+α)=−45\cos(\beta + \alpha) = -\frac{4}{5}，0<α<β⩽π20 < \alpha < \beta \leqslant \frac{\pi}{2}，求证：[f(β)]2−2=0[f(\beta)]^2 - 2 = 0.

2011 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
(1) (i) 证明两角和的余弦公式 Cα+βC_{\alpha+\beta}：cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta； (ii) 由 Cα+βC_{\alpha+\beta} 推导两角和的正弦公式 Sα+βS_{\alpha+\beta}：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta. (2) 已知 △ABC\triangle ABC 的面积 S=12S = \frac{1}{2}，AB→⋅AC→=3\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3，且 cos⁡B=35\cos B = \frac{3}{5}，求 cos⁡C\cos C.

2010 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19三角函数★★★☆☆
(1) (i) 证明两角和的余弦公式 C(α+β)C_{(\alpha+\beta)}：cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta； (ii) 由 C(α+β)C_{(\alpha+\beta)} 推导两角和的正弦公式 S(α+β)S_{(\alpha+\beta)}：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta. (2) 已知 cos⁡α=−45\cos \alpha = -\frac{4}{5}，α∈(π,3π2)\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)，tan⁡β=−13\tan \beta = -\frac{1}{3}，β∈(π2,π)\beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，求 cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta).

2010 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB 为锐角，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡2A=35\cos 2A = \frac{3}{5}，sin⁡B=1010\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}.
(1) 求 A+BA + B 的值； (2) 若 a−b=2−1a - b = \sqrt{2} - 1，求 aa，bb，cc 的值.

2009 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB 为锐角，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡A=55\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}，sin⁡B=1010\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}.
(1) 求 A+BA + B 的值； (2) 若 a−b=2−1a - b = \sqrt{2} - 1，求 aa，bb，cc 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因 AA、BB 为锐角，得 cos⁡A=1−sin⁡2A=255\cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\frac{2\sqrt5}{5}，cos⁡B=1−sin⁡2B=31010\cos B=\sqrt{1-\sin^2B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}. 于是
cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=255⋅31010−55⋅1010=22\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B =\frac{2\sqrt5}{5}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10} -\frac{\sqrt5}{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{10} =\frac{\sqrt2}{2}
又 0<A+B<π0<A+B<\pi，所以 A+B=π4A+B=\frac{\pi}{4}.
\item 由正弦定理，a:b=sin⁡A:sin⁡B=2:1a:b=\sin A:\sin B=\sqrt2:1，故可设 a=2ba=\sqrt2 b. 由 a−b=2−1a-b=\sqrt2-1，得
(2−1)b=2−1(\sqrt2-1)b=\sqrt2-1
所以 b=1b=1，a=2a=\sqrt2. 由第（1）问， C=π−(A+B)=3π4C=\pi-(A+B)=\frac{3\pi}{4}. 再次由正弦定理，
cb=sin⁡Csin⁡B=221010=5\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\sqrt5
故 c=5c=\sqrt5. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 cos⁡α=17\cos\alpha = \frac{1}{7}，cos⁡(α−β)=1314\cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{14}，且 0<β<α<π20 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}.
(1) 求 tan⁡2α\tan 2\alpha 的值； (2) 求 β\beta.

2007 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡α=17\cos \alpha = \frac{1}{7}，cos⁡(α−β)=1314\cos (\alpha - \beta) = \frac{13}{14}，且 0<β<α<π20 < \beta < \alpha < \frac{\pi}{2}.
(1) 求 tan⁡2α\tan 2\alpha 的值； (2) 求 β\beta.

2007 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 三内角，向量 m=(−1,3)\boldsymbol{m}=(-1,\sqrt{3})，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n}=(\cos A,\sin A)，且 m⋅n=1\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}=1.
(1) 求角 AA； (2) 若 1+sin⁡2Bcos⁡2B−sin⁡2B=−3\frac{1+\sin2B}{\cos^{2}B-\sin^{2}B}=-3，求 tan⁡C\tan C.

2006 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是 △ABC\triangle ABC 三内角，向量 m=(−1,3)\boldsymbol{m} = (-1, \sqrt{3})，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin A)，且 m⋅n=1\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 1.
(1) 求角 AA； (2) 若 1+sin⁡2Bcos⁡2B−sin⁡2B=−3\frac{1 + \sin 2B}{\cos^2 B - \sin^2 B} = -3，求 tan⁡C\tan C.

2006 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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