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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BC=4BC=4，AC=3AC=3，cos⁡A=−14\cos A=-\frac{1}{4}，则 sin⁡B=‾\sin B=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A=60^\circ，BC=1BC=1，点 DD 为 ABAB 的中点，点 EE 为 CDCD 的中点. 若设 AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}，AC→=b\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b}，则 AE→\overrightarrow{AE} 可用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示为______；若 BF→=13BC→\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF} 的最大值为______.

2023 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3153\sqrt{15}，b−c=2b - c = 2，cos⁡A=−14\cos A = -\frac{1}{4}，则 aa 的值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin \omega x + \cos \omega x（ω>0\omega > 0），x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−ω,ω)(- \omega, \omega) 内单调递增，且函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=ωx = \omega 对称，则 ω\omega 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，已知 b−c=14ab - c = \frac{1}{4}a，2sin⁡B=3sin⁡C2\sin B = 3\sin C，则 cos⁡A\cos A 的值为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在圆内接梯形 ABCDABCD 中，AB∥DCAB \parallel DC，过点 AA 作圆的切线与 CBCB 的延长线交于点 EE. 若 AB=AD=5AB = AD = 5，BE=4BE = 4，则弦 BDBD 的长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是圆 OO 的内接四边形，延长 ABAB 和 DCDC 相交于点 PP，若 PBPA=12\frac{PB}{PA} = \frac{1}{2}，PCPD=13\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}，则 BCAD\frac{BC}{AD} 的值为______.
\begin{answer} 66\frac{\sqrt{6}}{6} \end{answer} \begin{solution} 由圆内接四边形的割线定理，
PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD
设 PA=1PA=1，则 PB=12PB=\dfrac12，且由 PC=PD3PC=\dfrac{PD}{3} 得 12=PD23\frac12=\frac{PD^2}{3}，PD=32PD=\sqrt{\frac32}，PC=16PC=\frac1{\sqrt6}. 设 ∠BPC=∠APD=θ\angle BPC=\angle APD=\theta. 由余弦定理，
BC2=14+16−16cos⁡θ=512−cos⁡θ6BC^2=\frac14+\frac16-\frac1{\sqrt6}\cos\theta =\frac5{12}-\frac{\cos\theta}{\sqrt6}
AD2=1+32−6cos⁡θ=52−6cos⁡θ=6BC2AD^2=1+\frac32-\sqrt6\cos\theta =\frac52-\sqrt6\cos\theta=6BC^2
故
BCAD=16=66\frac{BC}{AD}=\frac1{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{6}
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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11三角函数★★☆☆☆
如图，AA1AA_{1} 与 BB1BB_{1} 相交于点 OO，AB∥A1B1AB \parallel A_{1}B_{1} 且 AB=12A1B1AB = \frac{1}{2} A_{1}B_{1}，若 △AOB\triangle AOB 的外接圆直径为 1，则 △A1OB1\triangle A_{1}OB_{1} 的外接圆直径为______.

2009 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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