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16三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=sin⁡(2x+π6)f(x)=\sin \left( 2x+\frac{\pi}{6} \right).
(1) 求最小正周期； (2) 若 x∈[−π6,π12]x\in \left[ -\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{12} \right]，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值； (3) 若 α∈(0,π2)\alpha\in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)，sin⁡α=33\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}，求 f(α)f(\alpha).

2026 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡B=3 bcos⁡Aa\sin B=\sqrt3\,b\cos A，c−2b=1c-2b=1，a=7a=\sqrt7.
(1) 求 AA； (2) 求 cc； (3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A+2B).

2025 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡B=916\cos B=\frac{9}{16}，b=5b=5，ac=23\frac{a}{c}=\frac23.
(1) 求 aa； (2) 求 sin⁡A\sin A； (3) 求 cos⁡(B−2A)\cos(B-2A) 的值.

2024 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 a=39a=\sqrt{39}，b=2b=2，∠A=120∘\angle A=120^\circ.
(1) 求 sin⁡B\sin B 的值； (2) 求 cc 的值； (3) 求 sin⁡(B−C)\sin(B-C).

2023 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=6a=\sqrt{6}，b=2cb=2c，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}.
(1) 求 cc 的值； (2) 求 sin⁡B\sin B 的值； (3) 求 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2022 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:1:2\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt2，b=2b=\sqrt2.
(1) 求 aa 的值； (2) 求 cos⁡C\cos C 的值； (3) 求 sin⁡(2C−π6)\sin\left( 2C-\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2021 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=22a=2\sqrt2，b=5b=5，c=13c=\sqrt{13}.
(1) 求角 CC 的大小； (2) 求 sin⁡A\sin A 的值； (3) 求 sin⁡(2A+π4)\sin\left( 2A+\dfrac{\pi}{4} \right) 的值.

2020 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin \left( 2B+\dfrac{\pi}{6} \right) 的值.

2019 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=excos⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 x∈[π4,π2]x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)≥0f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0； (3) 设 xnx_n 为函数 u(x)=f(x)−1u(x)=f(x)-1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2)\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right) 内的零点，其中 n∈Nn\in \mathbf{N}，证明 2nπ+π2−xn<e−2nπsin⁡x0−cos⁡x02n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}.

2019 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 b+c=2ab+c=2a，3csin⁡B=4asin⁡C3c\sin B=4a\sin C.
(1) 求 cos⁡B\cos B 的值； (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin\left(2B+\dfrac{\pi}{6}\right) 的值.

2019 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡A=acos⁡(B−π6)b\sin A=a\cos\left(B-\dfrac{\pi}{6}\right).
(1) 求角 BB 的大小； (2) 设 a=2a=2，c=3c=3，求 bb 和 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.已知 bsin⁡A=acos⁡ ⁣(B−π6)b\sin A=a\cos\!\left(B-\dfrac{\pi}{6}\right).
(1) 求角 BB 的大小； (2) 设 a=2a=2，c=3c=3，求 bb 和 sin⁡(2A−B)\sin(2A-B) 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a>ba>b，a=5a=5，c=6c=6，sin⁡B=35\sin B=\dfrac{3}{5}.
(1) 求 bb 和 sin⁡A\sin A 的值； (2) 求 sin⁡(2A+π4)\sin\left( 2A+\dfrac{\pi}{4} \right) 的值.

2017 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A=4bsin⁡Ba\sin A=4b\sin B，ac=5(a2−b2−c2)ac=\sqrt5\left(a^2-b^2-c^2\right).
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 求 sin⁡(2B−A)\sin(2B-A) 的值.

2017 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4tan⁡xsin⁡(π2−x)cos⁡(x−π3)−3f(x)=4\tan x\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)\cos\left(x-\dfrac\pi3\right)-\sqrt3.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域与最小正周期； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 [−π4,π4]\left[-\dfrac\pi4,\dfrac\pi4\right] 上的单调性.

2016 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 asin⁡2B=3bsin⁡Aa\sin 2B=\sqrt3 b\sin A.
(1) 求 BB； (2) 已知 cos⁡A=13\cos A=\dfrac13，求 sin⁡C\sin C 的值.

2016 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x−sin⁡2(x−π6)f(x) = \sin^2 x - \sin^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π3,π4]\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2015 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3153\sqrt{15}，b−c=2b - c = 2，cos⁡A=−14\cos A = -\frac{1}{4}.
(1) 求 aa 和 sin⁡C\sin C 的值； (2) 求 cos⁡(2A+π6)\cos\left(2A+\frac{\pi}{6}\right) 的值.

2015 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x⋅sin⁡(x+π3)−3cos⁡2x+34f(x) = \cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3}\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在闭区间 [−π4,π4]\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2014 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，已知 a−c=66ba - c = \frac{\sqrt{6}}{6} b，sin⁡B=6sin⁡C\sin B = \sqrt{6} \sin C.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 求 cos⁡(2A−π6)\cos\left(2A-\frac{\pi}{6}\right) 的值.

2014 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−2sin⁡(2x+π4)+6sin⁡xcos⁡x−2cos⁡2x+1f(x) = -\sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 6 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x + 1，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值和最小值.

2013 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，已知 bsin⁡A=3csin⁡Bb \sin A = 3c \sin B，a=3a = 3，cos⁡B=23\cos B = \frac{2}{3}.
(1) 求 bb 的值； (2) 求 sin⁡(2B−π3)\sin\left(2B-\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(2x+π3)+sin⁡(2x−π3)+2cos⁡2x−1f(x) = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 2\cos^2 x - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [−π4,π4]\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2012 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc. 已知 a=2a = 2，c=2c = \sqrt{2}，cos⁡A=−24\cos A = -\frac{\sqrt{2}}{4}.
(1) 求 sin⁡C\sin C 和 bb 的值； (2) 求 cos⁡(2A+π3)\cos\left(2A+\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2012 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=tan⁡(2x+π4)f(x) = \tan \left(2x + \frac{\pi}{4}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域与最小正周期； (2) 设 α∈(0,π4)\alpha \in (0, \frac{\pi}{4})，若 f(α2)=2cos⁡2αf\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos 2\alpha，求 α\alpha 的大小.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 正切函数有意义的条件为 2x+π4≠π2+kπ2x+\frac{\pi}{4}\ne\frac{\pi}{2}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 所以 x≠π8+kπ2x\ne\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}，k∈Zk\in\mathbf{Z} 定义域为
{x∈R|x≠π8+kπ2, k∈Z}\left\{x\in\mathbf{R}\middle|x\ne\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbf{Z}\right\}
因为 tan⁡u\tan u 的最小正周期为 π\pi，所以 f(x)f(x) 的最小正周期为 π2\frac{\pi}{2}.
\item 令 t=tan⁡αt=\tan\alpha. 由 0<α<π40<\alpha<\frac{\pi}{4}，知 0<t<10<t<1. 原方程化为
tan⁡(α+π4)=2cos⁡2α\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=2\cos2\alpha
即
1+t1−t=2(1−t2)1+t2\frac{1+t}{1-t}=\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}
因 1+t>01+t>0 且 1−t>01-t>0，约去 1+t1+t 后得
1+t2=2(1−t)21+t^2=2(1-t)^2
所以
t2−4t+1=0t^2-4t+1=0
其根为 t=2±3t=2\pm\sqrt3，结合 0<t<10<t<1，取
t=2−3=tan⁡π12t=2-\sqrt3=\tan\frac{\pi}{12}
故 α=π12\alpha=\frac{\pi}{12}. \end{enumerate} \end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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