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共找到 38 题
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035分集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={sin⁡7π6,cos⁡5π3,tan⁡5π4}A=\left\{ \sin \frac{7\pi}{6},\cos \frac{5\pi}{3},\tan \frac{5\pi}{4} \right\}，B={−32,−12,1}B=\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1 \right\}，则 A∩B=A\cap B=（ ）
A.
{−32,−12}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2} \right\}
B.
{−32,1}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},1 \right\}
C.
{−12,1}\left\{ -\frac{1}{2},1 \right\}
D.
{−32,−12,1}\left\{ -\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1 \right\}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 3 题 · 选择题

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045分三角函数★★☆☆☆
若点 (a,0)(a,0)（a>0a>0）是函数 y=2tan⁡(x−π3)y=2\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right) 的图象的一个对称中心，则 aa 的最小值为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
4π3\frac{4\pi}{3}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 4 题 · 选择题

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045分三角函数★★☆☆☆
已知 cos⁡(α+β)=m\cos(\alpha+\beta)=m，tan⁡αtan⁡β=2\tan\alpha\tan\beta=2，则 cos⁡(α−β)=\cos(\alpha-\beta)=（ ）
A.
−3m-3m
B.
−m3-\frac{m}{3}
C.
m3\frac{m}{3}
D.
3m3m

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 4 题 · 选择题

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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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075分三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为锐角，cos⁡α=1+54\cos\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}{4}，则 sin⁡α2=\sin\dfrac{\alpha}{2}=（ ）
A.
3−58\dfrac{3-\sqrt5}{8}
B.
−1+58\dfrac{-1+\sqrt5}{8}
C.
3−54\dfrac{3-\sqrt5}{4}
D.
−1+54\dfrac{-1+\sqrt5}{4}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
把函数 y=f(x)y=f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度，得到函数 y=sin⁡(x−π4)y=\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) 的图像，则 f(x)=f(x)=（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
sin⁡(−x2−7π12)\sin\left( -\frac{x}{2}-\frac{7\pi}{12} \right)
B.
sin⁡(x2+π12)\sin\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right)
C.
sin⁡(2x−7π12)\sin\left( 2x-\frac{7\pi}{12} \right)
D.
sin⁡(2x+π12)\sin\left( 2x+\frac{\pi}{12} \right)

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作. 其中第一题是测量海岛的高.
如图，点 EE，HH，GG 在水平线 ACAC 上，DEDE 和 FGFG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EGEG 称为“表距”，GCGC 和 EHEH 都称为“表目距”. GCGC 与 EHEH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 AB=AB=（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
表高×表距表目距的差+表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表高}
B.
表高×表距表目距的差−表高\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表高}
C.
表高×表距表目距的差+表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}+\text{表距}
D.
表高×表距表目距的差−表距\frac{\text{表高}\times \text{表距}}{\text{表目距的差}}-\text{表距}

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡x3+cos⁡x3f(x)=\sin\dfrac{x}{3}+\cos\dfrac{x}{3} 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.
3π3\pi 和 2\sqrt2
B.
3π3\pi 和 22
C.
6π6\pi 和 2\sqrt2
D.
6π6\pi 和 22

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
cos⁡2π12−cos⁡25π12=\cos^2\dfrac{\pi}{12}-\cos^2\dfrac{5\pi}{12}=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
C.
22\dfrac{\sqrt2}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt3}{2}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left( \omega x+\dfrac{\pi}{6} \right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(0,π)\alpha\in\left( 0,\pi \right)，且 3cos⁡2α−8cos⁡α=53\cos 2\alpha-8\cos\alpha=5，则 sin⁡α=\sin\alpha=（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
A.
53\dfrac{\sqrt{5}}{3}
B.
23\dfrac{2}{3}
C.
13\dfrac{1}{3}
D.
59\dfrac{\sqrt{5}}{9}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=cos⁡(ωx+π6)f(x)=\cos\left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致如图，则 f(x)f(x) 的最小正周期为（ ）
A.
10π9\dfrac{10\pi}{9}
B.
7π6\dfrac{7\pi}{6}
C.
4π3\dfrac{4\pi}{3}
D.
3π2\dfrac{3\pi}{2}

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
tan⁡255∘=\tan 255^\circ=（ ）
A.
−2−3-2-\sqrt3
B.
−2+3-2+\sqrt3
C.
2−32-\sqrt3
D.
2+32+\sqrt3

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡Ca\sin A-b\sin B=4c\sin C，cos⁡A=−14\cos A=-\dfrac{1}{4}，则 bc=\dfrac{b}{c}=（ ）
A.
66
B.
55
C.
44
D.
33

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡2x−sin⁡2x+2f(x)=2\cos^2 x-\sin^2 x+2，则（ ）
A.
f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，最大值为 33
B.
f(x)f(x) 的最小正周期为 π\pi，最大值为 44
C.
f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi，最大值为 33
D.
f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi，最大值为 44

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
已知角 α\alpha 的顶点为坐标原点，始边与 xx 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a)A(1,a)，B(2,b)B(2,b)，且 cos⁡2α=23\cos2\alpha=\dfrac23，则 ∣a−b∣=|a-b|=（ ）
A.
15\dfrac15
B.
55\dfrac{\sqrt5}{5}
C.
255\dfrac{2\sqrt5}{5}
D.
11

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （AA，ω\omega，φ\varphi 均为正的常数） 的最小正周期为 π\pi，当 x=2π3x = \frac{2\pi}{3} 时，函数 f(x)f(x) 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 最小正周期满足 2πω=π\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi，所以 ω=2\omega=2. 在 x=2π3x=\frac{2\pi}{3} 时取得最小值，故
sin⁡(4π3+φ)=−1\sin\left(\frac{4\pi}{3}+\varphi\right)=-1
从而 φ=π6+2kπ\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi. 相位相差整数个周期不改变函数，故可取 f(x)=Asin⁡(2x+π6)f(x)=A\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).
因为 7π6<4<4π37\frac{\pi}{6}<4<4\frac{\pi}{3}，所以 sin⁡4<0\sin4<0，并且 π6−4\frac{\pi}{6}-4 加上 2π2\pi 后落在 (5π6,π)(5\frac{\pi}{6},\pi) 内. 于是
f(2)−f(−2)=A[sin⁡(4+π6)−sin⁡(π6−4)]=A3sin⁡4<0f(2)-f(-2)=A\left[\sin\left(4+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-4\right)\right]=A\sqrt{3}\sin4<0
且 f(−2)=Asin⁡(π6−4)<Asin⁡π6=f(0)f(-2)=A\sin(\frac{\pi}{6}-4)<A\sin\frac{\pi}{6}=f(0). 因此 f(2)<f(−2)<f(0)f(2)<f(-2)<f(0)，选 A. \end{solution}
A.
f(2)<f(−2)<f(0)f(2) < f(-2) < f(0)
B.
f(0)<f(2)<f(−2)f(0) < f(2) < f(-2)
C.
f(−2)<f(0)<f(2)f(-2) < f(0) < f(2)
D.
f(2)<f(0)<f(−2)f(2) < f(0) < f(-2)

2015 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足 f(x+π)=f(x)+sin⁡xf(x + \pi) = f(x) + \sin x. 当 0⩽x<π0 \leqslant x < \pi 时，f(x)=0f(x) = 0，则 f(23π6)=f\left(\frac{23\pi}{6}\right) =（ ）
\begin{solution} 令 x0=5π6x_0=\dfrac{5\pi}{6}. 因为 0⩽x0<π0\leqslant x_0<\pi，所以 f(x0)=0f(x_0)=0. 由递推关系，f(x0+π)=f(x0)+sin⁡x0=12f(x_0+\pi)=f(x_0)+\sin x_0=\dfrac12，f(x0+2π)=f(x0+π)+sin⁡(x0+π)=0f(x_0+2\pi)=f(x_0+\pi)+\sin(x_0+\pi)=0，f(x0+3π)=f(x0+2π)+sin⁡(x0+2π)=12f(x_0+3\pi)=f(x_0+2\pi)+\sin(x_0+2\pi)=\dfrac12. 又 23π6=x0+3π\dfrac{23\pi}{6}=x_0+3\pi，故选 A. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
00
D.
−12-\frac{1}{2}

2014 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，点 QQ 满足 OQ→=2(a+b)\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}). 曲线 C={P∣OP→=acos⁡θ+bsin⁡θ,0⩽θ<2π}C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}，区域 Ω={P∣0<r⩽∣PQ→∣⩽R,r<R}\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}. 若 C∩ΩC \cap \Omega 为两段分离的曲线，则（ ）
\begin{solution} 取 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 PP 的坐标可表示为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)，点 QQ 的坐标为 (2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2}). 因而 ∣PQ→∣2=(cos⁡θ−2)2+(sin⁡θ−2)2=5−22(cos⁡θ+sin⁡θ)=5−4cos⁡(θ−π4)\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right).
所以 ∣PQ→∣\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert 的最小值为 11，最大值为 33，且在圆 CC 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 r⩽1r\leqslant1，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 R⩾3R\geqslant3，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 1<r<R<31<r<R<3 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}
A.
1<r<R<31 < r < R < 3
B.
1<r<3⩽R1 < r < 3 \leqslant R
C.
r⩽1<R<3r \leqslant 1 < R < 3
D.
1<r<3<R1 < r < 3 < R

2014 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
若将函数 f(x)=sin⁡2x+cos⁡2xf(x) = \sin 2x + \cos 2x 的图象向右平移 φ\varphi 个单位，所得图象关于 yy 轴对称，则 φ\varphi 的最小正值是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
π8\frac{\pi}{8}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
3π8\frac{3\pi}{8}
D.
3π4\frac{3\pi}{4}

2014 · 安徽 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别为 aa，bb，cc，若 b+c=2ab + c = 2a，3sin⁡A=5sin⁡B3\sin A = 5\sin B，则角 C=C =（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
2π3\frac{2\pi}{3}
C.
3π4\frac{3\pi}{4}
D.
5π6\frac{5\pi}{6}

2013 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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08平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系中，点 O(0,0)O(0,0)，P(6,8)P(6,8)，将向量 OP→\overrightarrow{OP} 绕点 OO 按逆时针方向旋转 3π4\frac{3\pi}{4} 后得向量 OQ→\overrightarrow{OQ}，则点 QQ 的坐标是（ ）
A.
(−72,−2)(-7\sqrt{2}, - \sqrt{2})
B.
(−72,2)(-7\sqrt{2}, \sqrt{2})
C.
(−46,−2)(-4\sqrt{6}, - 2)
D.
(−46,2)(-4\sqrt{6}, 2)

2012 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
要得到函数 y=cos⁡(2x+1)y = \cos (2x + 1) 的图象，只要将函数 y=cos⁡2xy = \cos 2x 的图象（ ）
A.
向左平移 1 个单位
B.
向右平移 1 个单位
C.
向左平移 12\frac{1}{2} 个单位
D.
向右平移 12\frac{1}{2} 个单位

2012 · 安徽 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x) = \sin (2x + \varphi)，其中 φ\varphi 为实数，若 f(x)⩽∣f(π6)∣f(x) \leqslant \left|f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，且 f(π2)>f(π)f\left(\frac{\pi}{2}\right) > f(\pi)，则 f(x)f(x) 的单调递增区间是（ ）
A.
[kπ−π3,kπ+π6]\left[k\pi - \frac{\pi}{3}, k\pi + \frac{\pi}{6}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
B.
[kπ,kπ+π2]\left[k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
C.
[kπ+π6,kπ+2π3]\left[k\pi + \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{2\pi}{3}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）
D.
[kπ−π2,kπ]\left[k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）

2011 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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