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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3\sqrt3，DD 为 BCBC 的中点，且 AD=1AD=1.
(1) 若 ∠ADC=π3\angle ADC=\dfrac{\pi}{3}，求 tan⁡B\tan B； (2) 若 b2+c2=8b^2+c^2=8，求 bb，cc.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin \left( A-B \right)=\sin B\sin \left( C-A \right).
(1) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2； (2) 若 a=5a=5，cos⁡A=2531\cos A=\frac{25}{31}，求 △ABC\triangle ABC 的周长.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 sin⁡Csin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(C−A)\sin C\sin\left(A-B\right)=\sin B\sin\left(C-A\right).
(1) 若 A=2BA=2B，求 CC； (2) 证明：2a2=b2+c22a^2=b^2+c^2.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，A=3π4A = \frac{3\pi}{4}，AB=6AB = 6，AC=32AC = 3\sqrt{2}，点 DD 在 BCBC 边上，AD=BDAD = BD，求 ADAD 的长. \begin{solution} 由余弦定理，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡A=36+18−362(−22)=90BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A=36+18-36\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=90
所以 BC=310BC=3\sqrt{10}. 设 AD=BD=xAD=BD=x，则 DC=310−xDC=3\sqrt{10}-x. 对三角形 ABCABC 使用斯图尔特定理，得
AC2⋅BD+AB2⋅DC=BC(AD2+BD⋅DC)AC^2\cdot BD+AB^2\cdot DC=BC\left(AD^2+BD\cdot DC\right)
代入已知量，
18x+36(310−x)=310[x2+x(310−x)]=90x18x+36(3\sqrt{10}-x)=3\sqrt{10}\left[x^2+x(3\sqrt{10}-x)\right]=90x
整理得 10810=108x108\sqrt{10}=108x，所以
AD=x=10AD=x=\sqrt{10}
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=(sin⁡x+cos⁡x)2+cos⁡2xf(x) = (\sin x + \cos x)^2 + \cos 2x.
(1) 求 f(x)f(x) 最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别是 aa，bb，cc，且 b=3b = 3，c=1c = 1，A=2BA = 2B.
(1) 求 aa 的值； (2) 求 sin⁡(A+π4)\sin\left(A+\frac{\pi}{4}\right) 的值.

2014 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别是 aa，bb，cc，且 b=3b = 3，c=1c = 1，△ABC\triangle ABC 的面积为 2\sqrt{2}，求 cos⁡A\cos A 与 aa 的值.

2014 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=4cos⁡ωx⋅sin⁡(ωx+π4)f(x) = 4\cos \omega x \cdot \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{4} \right)（ω>0\omega > 0）的最小正周期为 π\pi.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的单调性.

2013 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡x+sin⁡(x+π3)f(x) = \sin x + \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right).
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值，并求使 f(x)f(x) 取得最小值的 xx 的集合； (2) 不画图，说明函数 y=f(x)y = f(x) 的图象可由 y=sin⁡xy = \sin x 的图象经过怎样的变化得到.

2013 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=22cos⁡(2x+π4)+sin⁡2xf(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期. (2) 设函数 g(x)g(x) 对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，有 g(x+π2)=g(x)g\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = g(x)，且当 x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，g(x)=12−f(x)g(x) = \frac{1}{2} - f(x). 求 g(x)g(x) 在区间 [−π,0][- \pi, 0] 上的解析式.

2012 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边为 aa，bb，cc，且有 2sin⁡Bcos⁡A=sin⁡Acos⁡C+cos⁡Asin⁡C2\sin B\cos A = \sin A\cos C + \cos A\sin C.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 b=2b = 2，c=1c = 1，DD 为 BCBC 的中点，求 ADAD 的长.

2012 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x2+sin⁡xf(x) = \frac{x}{2} + \sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn}\{x_n\}.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 设 {xn}\{x_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 sin⁡Sn\sin S_n.

2012 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为内角 AA，BB，CC 所对的边长，a=3a = \sqrt{3}，b=2b = \sqrt{2}，1+2cos⁡(B+C)=01 + 2\cos(B + C) = 0，求边 BCBC 上的高.

2011 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 是锐角三角形，aa，bb，cc 分别是内角 AA，BB，CC 所对边长，并且 sin⁡2A=sin⁡(π3+B)sin⁡(π3−B)+sin⁡2B\sin^{2} A = \sin \left(\frac{\pi}{3} + B\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - B\right) + \sin^{2} B.
(1) 求角 AA 的值； (2) 若 AB→⋅AC→=12\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 12，a=27a = 2 \sqrt{7}，求 bb，cc（其中 b<cb < c）.

2010 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的面积是 30，内角 AA，BB，CC 所对边长分别为 aa，bb，cc，cos⁡A=1213\cos A = \frac{12}{13}.
(1) 求 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}； (2) 若 c−b=1c - b = 1，求 aa 的值.

2010 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡x−cos⁡x+x+1f(x) = \sin x - \cos x + x + 1，0<x<2π0 < x < 2\pi，求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.

2010 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡(C−A)=1\sin (C - A) = 1，sin⁡B=13\sin B = \frac{1}{3}.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 设 AC=6AC = \sqrt{6}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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