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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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155分三角函数★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______\ cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x+3π2)−3cos⁡xf(x)=\sin \left( 2x+\dfrac{3\pi}{2} \right)-3\cos x 的最小值为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 bsin⁡C+csin⁡B=4asin⁡Bsin⁡Cb\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C，b2+c2−a2=8b^2+c^2-a^2=8，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12三角函数★★★☆☆
观察下列等式：
(sin⁡π3)−2+(sin⁡2π3)−2=43×1×2\left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)^{-2}=\dfrac43\times1\times2；
(sin⁡π5)−2+(sin⁡2π5)−2+(sin⁡3π5)−2+(sin⁡4π5)−2=43×2×3\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right)^{-2}=\dfrac43\times2\times3；
(sin⁡π7)−2+(sin⁡2π7)−2+(sin⁡3π7)−2+⋯+(sin⁡6π7)−2=43×3×4\left(\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{6\pi}{7}\right)^{-2}=\dfrac43\times3\times4；
(sin⁡π9)−2+(sin⁡2π9)−2+(sin⁡3π9)−2+⋯+(sin⁡8π9)−2=43×4×5\left(\sin\dfrac{\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}\right)^{-2}=\dfrac43\times4\times5.
照此规律， (sin⁡π2n+1)−2+(sin⁡2π2n+1)−2+(sin⁡3π2n+1)−2+⋯+(sin⁡2nπ2n+1)−2=\left(\sin\dfrac{\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1}\right)^{-2}=______.

2016 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★☆☆☆
若“∀x∈[0,π4]\forall x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]，tan⁡x⩽m\tan x \leqslant m”是真命题，则实数 mm 的最小值为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=tan⁡A\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tan A，当 A=π6A = \frac{\pi}{6} 时，△ABC\triangle ABC 的面积为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
函数 y=32sin⁡2x+cos⁡2xy = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \cos^2 x 最小正周期为______.

2014 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)(0, 1)，此时圆上一点 PP 的位置在 (0,0)(0, 0). 圆在 xx 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于 (2,1)(2, 1) 时，OP→\overrightarrow{OP} 的坐标为______.

2012 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，一单位圆的圆心初始位置在 (0,1)(0,1)，此时圆上一点 PP 的位置在 (0,0)(0,0). 因圆在 xx 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于 (2,1)(2,1) 时，OP→\overrightarrow{OP} 的坐标为______.

2012 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 a=2a = \sqrt{2}，b=2b = 2，sin⁡B+cos⁡B=2\sin B + \cos B = \sqrt{2}，则角 AA 的大小为______.

2010 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 若 a=2a = \sqrt{2}，b=2b = 2，sin⁡B+cos⁡B=2\sin B + \cos B = \sqrt{2}，则角 AA 的大小为______.

2010 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 的对边，向量 m=(3,−1)\boldsymbol{m} = (\sqrt{3}, -1)，n=(cos⁡A,sin⁡A)\boldsymbol{n} = (\cos A, \sin A). 若 m⊥n\boldsymbol{m} \perp \boldsymbol{n}，且 acos⁡B+bcos⁡A=csin⁡Ca \cos B + b \cos A = c \sin C，则角 B=B =______.

2008 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
下列四个命题中，真命题的序号有______.（写出所有真命题的序号）
① 将函数y=∣x+1∣y=|x+1|的图象按向量v=(−1,0)\boldsymbol{v}=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=∣x∣y=|x|； ② 圆x2+y2+4x+2y+1=0x^2+y^2+4x+2y+1=0与直线y=12xy=\dfrac12x相交，所得弦长为22； ③ 若sin⁡(α+β)=12\sin(\alpha+\beta)=\dfrac12，sin⁡(α−β)=13\sin(\alpha-\beta)=\dfrac13，则tan⁡αcot⁡β=5\tan\alpha\cot\beta=5； ④ 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，PP为底面ABCDABCD内一动点，PP到平面AA1D1DAA_1D_1D的距离与到直线CC1CC_1的距离相等，则PP点的轨迹是抛物线的一部分.

2006 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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