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135分三角函数★★★☆☆
已知 f(x)=2sin⁡(ax+θ)f(x)=2\sin(ax+\theta)（a∈Za\in\mathbf{Z}，0≤θ<2π0\le \theta<2\pi）是偶函数，f(x)f(x) 在区间 (0,π2)\left( 0,\frac{\pi}{2} \right) 单调递增，则 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}}，f(2π3)=‾f\left( \frac{2\pi}{3} \right)=\underline{\hspace{2em}}．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡2 ⁣(π4+α)=23\sin^2\!\left(\dfrac\pi4+\alpha\right)=\dfrac23，则 sin⁡2α\sin2\alpha 的值是______.

2020 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
将函数 y=3sin⁡ ⁣(2x+π4)y=3\sin\!\left(2x+\dfrac\pi4\right) 的图象向右平移 π6\dfrac\pi6 个单位长度，则平移后的图象中与 yy 轴最近的对称轴的方程是______.

2020 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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13平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=4AB=4，AC=3AC=3，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. DD 在边 BCBC 上，延长 ADAD 到 PP，使得 AP=9AP=9. 若 PA→=mPB→+(32−m)PC→\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+\left(\dfrac32-m\right)\overrightarrow{PC}（mm 为常数），则 CDCD 的长度是______.

2020 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
已知 tan⁡αtan⁡(α+π4)=−23\dfrac{\tan\alpha}{\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)}=-\dfrac23，则 sin⁡(2α+π4)\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) 的值是______.
\begin{answer} 210\dfrac{\sqrt{2}}{10} \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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07三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=sin⁡(2x+φ)y=\sin(2x+\varphi)（−π2<φ<π2-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}） 的图象关于直线 x=π3x=\dfrac{\pi}{3} 对称，则 φ\varphi 的值是______.

2018 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ，∠ABC\angle ABC 的平分线交 ACAC 于点 DD，且 BD=1BD=1，则 4a+c4a+c 的最小值为______.

2018 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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05三角函数★☆☆☆☆
若 tan⁡ ⁣(α−π4)=16\tan\!\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac16，则 tan⁡α=‾\tan\alpha=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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12平面向量★★★☆☆
如图，在同一个平面内，向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 的模分别为 11，11，2\sqrt2，OA→\overrightarrow{OA} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 α\alpha，且 tan⁡α=7\tan\alpha=7，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 45∘45^\circ. 若 OC→=mOA→+nOB→\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（mm，n∈Rn\in\mathbf{R}），则 m+n=‾m+n=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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09三角函数★★★☆☆
定义在区间 [0,3π][0,3\pi] 上的函数 y=sin⁡2xy=\sin 2x 的图象与 y=cos⁡xy=\cos x 的图象的交点个数是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，若 sin⁡A=2sin⁡Bsin⁡C\sin A=2\sin B\sin C，则 tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A\tan B\tan C 的最小值是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡α=−2\tan \alpha = -2，tan⁡(α+β)=17\tan (\alpha + \beta) = \frac{1}{7}，则 tan⁡β\tan \beta 的值为______.

2015 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
设向量 ak=(cos⁡kπ6,sin⁡kπ6+cos⁡kπ6)\boldsymbol{a}_k = \left(\cos \frac{k\pi}{6}, \sin \frac{k\pi}{6} + \cos \frac{k\pi}{6}\right)（k=0k = 0，11，22，⋯\cdots，1212），则 ∑k=011(ak⋅ak+1)\sum_{k=0}^{11} (\boldsymbol{a}_k \cdot \boldsymbol{a}_{k+1}) 的值为______.

2015 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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05三角函数★★☆☆☆
已知函数 y=cos⁡xy = \cos x 与 y=sin⁡(2x+φ)y = \sin (2x + \varphi) （0⩽φ<π0 \leqslant \varphi < \pi），它们的图象有一个横坐标为 π3\frac{\pi}{3} 的交点，则 φ\varphi 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角满足 sin⁡A+2sin⁡B=2sin⁡C\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C，则 cos⁡C\cos C 的最小值是______.

2014 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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01三角函数★☆☆☆☆
函数 y=3sin⁡(2x+π4)y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right) 的最小正周期为______.

2013 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
设 α\alpha 为锐角，若 cos⁡(α+π6)=45\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}，则 sin⁡(2α+π12)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{12}\right) 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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07三角函数★★☆☆☆
已知 tan⁡(x+π4)=2\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2，则 tan⁡xtan⁡2x\frac{\tan x}{\tan 2x} 的值为______.

2011 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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09三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（AA，ω\omega，φ\varphi 是常数，A>0A>0，ω>0\omega>0）的部分图象如图所示，则 f(0)=f(0)=______.

2011 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
定义在区间 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上的函数 y=6cos⁡xy=6\cos x 的图象与 y=5tan⁡xy=5\tan x 的图象交于点 PP，过点 PP 作 xx 轴的垂线，垂足为 P1P_1，直线 PP1PP_1 与 y=sin⁡xy=\sin x 的图象交于点 P2P_2，则线段 P1P2P_1P_2 的长为______.

2010 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 ba+ab=6cos⁡C\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C，则 tan⁡Ctan⁡A+tan⁡Ctan⁡B\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B} 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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04三角函数★★☆☆☆
函数 y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi)（AA，ω\omega，φ\varphi 为常数，A>0A>0，ω>0\omega>0）在闭区间 [−π,0][-\pi,0] 上的图象如图所示，则 ω=‾\omega=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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01三角函数★☆☆☆☆
若函数 f(x)=cos⁡(ωx−π6)f(x) = \cos \left( \omega x - \frac{\pi}{6} \right)（ω>0\omega > 0）最小正周期为 π5\frac{\pi}{5}，则 ω=\omega =______.

2008 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
满足条件 AB=2AB = 2，AC=2BCAC = \sqrt{2}BC 的三角形 ABCABC 的面积的最大值是______.

2008 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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