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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b2=acb^2=ac，点 DD 在边 ACAC 上，且 BDsin⁡∠ABC=asin⁡CBD\sin\angle ABC=a\sin C.
(1) 证明：BD=bBD=b； (2) 若 AD=2DCAD=2DC，求 cos⁡∠ABC\cos\angle ABC.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 a=3a=3，c=2c=\sqrt2，B=45∘B=45^\circ.
(1) 求 sin⁡C\sin C 的值； (2) 在边 BCBC 上取一点 DD，使得 cos⁡∠ADC=−45\cos\angle ADC=-\dfrac45，求 tan⁡∠DAC\tan\angle DAC 的值.

2020 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 a=3ca=3c，b=2b=\sqrt2，cos⁡B=23\cos B=\dfrac23，求 cc 的值； (2) 若 sin⁡Aa=cos⁡B2b\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\cos B}{2b}，求 sin⁡(B+π2)\sin\left(B+\dfrac{\pi}{2}\right) 的值.

2019 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha，β\beta 为锐角，tan⁡α=43\tan\alpha=\dfrac{4}{3}，cos⁡(α+β)=−55\cos(\alpha+\beta)=-\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求 cos⁡2α\cos 2\alpha 的值； (2) 求 tan⁡(α−β)\tan(\alpha-\beta) 的值.

2018 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 OO 的一段圆弧 MPNMPN（PP 为此圆弧的中点）和线段 MNMN 构成. 已知圆 OO 的半径为 40 米，点 PP 到 MNMN 的距离为 50 米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I\mathrm{I} 内的地块形状为矩形 ABCDABCD，大棚 II\mathrm{II} 内的地块形状为 △CDP\triangle CDP，要求 AA，BB 均在线段 MNMN 上，CC，DD 均在圆弧上. 设 OCOC 与 MNMN 所成的角为 θ\theta.
(1) 用 θ\theta 分别表示矩形 ABCDABCD 和 △CDP\triangle CDP 的面积，并确定 sin⁡θ\sin\theta 的取值范围； (2) 若大棚 I\mathrm{I} 内种植甲种蔬菜，大棚 II\mathrm{II} 内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:34:3，求当 θ\theta 为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年总产值最大.

2018 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{a}=(\cos x,\sin x)，b=(3,−3)\boldsymbol{b}=(3,-\sqrt3)，x∈[0,π]x\in[0,\pi].
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel \boldsymbol{b}，求 xx 的值； (2) 记 f(x)=a⋅bf(x)=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}，求 f(x)f(x) 的最大值和最小值以及对应的 xx 的值.

2017 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AC=6AC=6，cos⁡B=45\cos B=\dfrac45，C=π4C=\dfrac\pi4.
(1) 求 ABAB 的长； (2) 求 cos⁡(A−π6)\cos\left(A-\dfrac\pi6\right) 的值.

2016 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB=2AB = 2，AC=3AC = 3，A=60∘A = 60^{\circ}.
(1) 求 BCBC 的长； (2) 求 sin⁡2C\sin 2C 的值.

2015 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，sin⁡α=55\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求 sin⁡(π4+α)\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) 的值； (2) 求 cos⁡(56π−2α)\cos\left(\frac{5}{6}\pi - 2\alpha\right) 的值.

2014 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
已知 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b}=(\cos\beta,\sin\beta)，0<β<α<π0<\beta<\alpha<\pi.
(1) 若 ∣a−b∣=2\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=\sqrt2，求证：a⊥b\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}； (2) 设 c=(0,1)\boldsymbol{c}=(0,1)，若 a+b=c\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}，求 α\alpha，β\beta 的值.

2013 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
如图，游客从某旅游景区的景点 AA 处下山至 CC 处有两种路径. 一种是从 AA 沿直线步行到 CC，另一种是先从 AA 沿索道乘缆车到 BB，然后从 BB 沿直线步行到 CC. 现有甲，乙两位游客从 AA 处下山，甲沿 ACAC 匀速步行，速度为 50 m/min50\mathrm{~m/min}. 在甲出发 2 min2\mathrm{~min} 后，乙从 AA 乘缆车到 BB，在 BB 处停留 1 min1\mathrm{~min} 后，再从 BB 匀速步行到 CC. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min130\mathrm{~m/min}，山路 ACAC 长为 1260 m1260\mathrm{~m}，经测量，cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}，cos⁡C=35\cos C=\frac{3}{5}.
(1) 求索道 ABAB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在 CC 处互相等待的时间不超过 3 min3\mathrm{~min}，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2013 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=3BA→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.
(1) 求证：tan⁡B=3tan⁡A\tan B = 3\tan A. (2) 若 cos⁡C=55\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}，求 AA 的值.

2012 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对应的边为 aa，bb，cc.
(1) 若 sin⁡(A+π6)=2cos⁡A\sin\left(A+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos A，求 AA 的值； (2) 若 cos⁡A=13\cos A=\frac{1}{3}，b=3cb=3c，求 sin⁡C\sin C 的值.

2011 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
某兴趣小组测量电视塔 AEAE 的高度 HH（单位：m\mathrm{m}）. 如示意图，垂直放置的标杆 BCBC 的高度 h=4 mh=4 \mathrm{~m}，仰角 ∠ABE=α\angle ABE=\alpha，∠ADE=β\angle ADE=\beta.
(1) 该小组已经测得一组 α\alpha，β\beta 的值，算出了 tan⁡α=1.24\tan\alpha=1.24，tan⁡β=1.20\tan\beta=1.20，请据此算出 HH 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 dd（单位：m\mathrm{m}），使 α\alpha 与 β\beta 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 125 m125 \mathrm{~m}，试问 dd 为多少时，α−β\alpha-\beta 最大.

2010 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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23三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长都是有理数.
(1) 求证：cos⁡A\cos A 是有理数； (2) 求证：对任意正整数 nn，cos⁡nA\cos nA 是有理数.

2010 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
设向量 a=(4cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a}=(4\cos\alpha,\sin\alpha)，b=(sin⁡β,4cos⁡β)\boldsymbol{b}=(\sin\beta,4\cos\beta)，c=(cos⁡β,−4sin⁡β)\boldsymbol{c}=(\cos\beta,-4\sin\beta).
(1) 若 a\boldsymbol{a} 与 b−2c\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c} 垂直，求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值； (2) 求 ∣b+c∣|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的最大值； (3) 若 tan⁡αtan⁡β=16\tan\alpha\tan\beta=16，求证：a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}.

2009 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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15三角函数★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以 OxOx 轴为始边作两个锐角 α\alpha，β\beta，它们的终边分别与单位圆交于 AA，BB 两点. 已知 AA，BB 的横坐标分别为 210\frac{\sqrt{2}}{10}，255\frac{2\sqrt{5}}{5}.
(1) 求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha + \beta) 的值； (2) 求 α+2β\alpha + 2\beta 的值.

2008 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCDABCD 的两个顶点 AA，BB 及 CDCD 的中点 PP 处，已知 AB=20 kmAB = 20\,\mathrm{km}，BC=10 kmBC = 10\,\mathrm{km}. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 AA，BB 等距离的一点 OO 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AOAO，BOBO，POPO. 记排污管道的总长度为 y kmy\,\mathrm{km}.
(1) 按下列要求写出函数关系式：
(i) 设 ∠BAO=θ\angle BAO = \theta（rad\mathrm{rad}），将 yy 表示为 θ\theta 的函数； (ii) 设 OP=xOP = x（km\mathrm{km}），将 yy 表示为 xx 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

2008 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
如图，设 △ABC\triangle ABC 的外接圆的切线 AEAE 与 BCBC 的延长线交于点 EE，∠BAC\angle BAC 的平分线与 BCBC 交于点 DD. 求证：ED2=EC⋅EBED^2 = EC \cdot EB.

2008 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}，tan⁡α2+cot⁡α2=52\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{2}，求 sin⁡(α−π3)\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) 的值.

2004 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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