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1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1513分三角函数★★★☆☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡C=2cos⁡B\sin C =2\cos B，a2+b2−c2=2 aba^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab.
(1) 求 BB； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 3+33+\sqrt3，求 cc.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 解答题

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1715分三角函数★★★☆☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，A+B=3CA+B=3C，2sin⁡(A−C)=sin⁡B2\sin(A-C)=\sin B.
(1) 求 sin⁡A\sin A； (2) 设 AB=5AB=5，求 ABAB 边上的高.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b2=acb^2=ac，点 DD 在边 ACAC 上，且 BDsin⁡∠ABC=asin⁡CBD\sin\angle ABC=a\sin C.
(1) 证明：BD=bBD=b； (2) 若 AD=2DCAD=2DC，求 cos⁡∠ABC\cos\angle ABC.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 B=150∘B=150^{\circ}.
(1) 若 a=3ca=\sqrt{3}c，b=27b=2\sqrt{7}，求 △ABC\triangle ABC 的面积； (2) 若 sin⁡A+3sin⁡C=22\sin A+\sqrt{3}\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，求 CC.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 设 (sin⁡B−sin⁡C)2=sin⁡2A−sin⁡Bsin⁡C(\sin B-\sin C)^2=\sin^2A-\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 2 a+b=2c\sqrt2\,a+b=2c，求 sin⁡C\sin C.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在平面四边形 ABCDABCD 中，∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ，∠A=45∘\angle A=45^\circ，AB=2AB=2，BD=5BD=5.
(1) 求 cos⁡∠ADB\cos\angle ADB； (2) 若 DC=22DC=2\sqrt2，求 BCBC.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，∣φ∣<π2|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 将 y=f(x)y=f(x) 图象上所有点向左平行移动 θ\theta（θ>0\theta>0）个单位长度，得到 y=g(x)y=g(x) 的图象. 若 y=g(x)y=g(x) 图象的一个对称中心为 (5π12,0)\left(\dfrac{5\pi}{12},0\right)，求 θ\theta 的最小值.

2015 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，∣φ∣<π2|\varphi|<\frac{\pi}{2}）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 将 y=f(x)y=f(x) 图象上所有点向左平行移动 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度，得到 y=g(x)y=g(x) 的图象. 求 y=g(x)y=g(x) 的图象离原点 OO 最近的对称中心.

2015 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
某实验室一天的温度（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）随时间 tt（单位：h\mathrm{h}）的变化近似满足函数关系： f(t)=10−3cos⁡π12t−sin⁡π12tf(t) = 10 - \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{12}t - \sin \frac{\pi}{12}t， t∈[0,24)\ t \in [0, 24).
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于 11 ∘C11 \mathrm{~^{\circ}C}，则在哪段时间实验室需要降温？

2014 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
某实验室一天的温度（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）随时间 tt（单位：h\mathrm{h}）的变化近似满足函数关系：f(t)=10−3cos⁡π12t−sin⁡π12tf(t)=10-\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{12}t-\sin\frac{\pi}{12}t， t∈[0,24)\ t\in[0,24).
(1) 求实验室这一天上午 88 时的温度； (2) 求实验室这一天的最大温差.

2014 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对应的边分别是 aa，bb，cc. 已知 cos⁡2A−3cos⁡(B+C)=1\cos 2A - 3\cos (B + C) = 1.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=53S = 5\sqrt{3}，b=5b = 5，求 sin⁡Bsin⁡C\sin B \sin C 的值.

2013 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对应的边分别是 aa，bb，cc，已知 cos⁡2A−3cos⁡(B+C)=1\cos 2A-3\cos(B+C)=1.
(1) 求角 AA 的大小； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积 S=53S=5\sqrt{3}，b=5b=5，求 sin⁡Bsin⁡C\sin B\sin C 的值.

2013 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡ωx−sin⁡ωx,sin⁡ωx)\boldsymbol{a} = (\cos \omega x - \sin \omega x, \sin \omega x)，b=(−cos⁡ωx−sin⁡ωx,23cos⁡ωx)\boldsymbol{b} = (-\cos \omega x - \sin \omega x, 2\sqrt{3} \cos \omega x)，设函数 f(x)=a⋅b+λf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \lambda（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象关于直线 x=πx = \pi 对称，其中 ω\omega，λ\lambda 为常数，且 ω∈(12,1)\omega \in \left(\frac{1}{2}, 1\right).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若 y=f(x)y = f(x) 的图象经过点 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,3π5]\left[0, \frac{3\pi}{5}\right] 上的取值范围.

2012 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡2ωx+23sin⁡ωx⋅cos⁡ωx−cos⁡2ωx+λf(x) = \sin^2 \omega x + 2\sqrt{3}\sin \omega x \cdot \cos \omega x - \cos^2 \omega x + \lambda（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象关于直线 x=πx = \pi 对称，其中 ω\omega，λ\lambda 为常数，且 ω∈(12,1)\omega \in \left(\frac{1}{2}, 1\right).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 若 y=f(x)y = f(x) 的图象经过点 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，求函数 f(x)f(x) 的值域.

2012 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=1a=1，b=2b=2，cos⁡C=14\cos C=\dfrac{1}{4}.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的周长； (2) 求 cos⁡(A−C)\cos(A-C) 的值.

2011 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 a=1a = 1，b=2b = 2，cos⁡C=14\cos C = \frac{1}{4}.
(1) 求 △ABC\triangle ABC 的周长； (2) 求 cos⁡(A−C)\cos(A-C) 的值.

2011 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(π3+x)cos⁡(π3−x)f(x) = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right)，g(x)=12sin⁡2x−14g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的最大值，并求使 h(x)h(x) 取得最大值的 xx 的集合.

2010 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2x2f(x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2}，g(x)=12sin⁡2x−14g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4}.
(1) 函数 f(x)f(x) 的图象可由函数 g(x)g(x) 的图象经过怎样变化得出？ (2) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 的最小值，并求使 h(x)h(x) 取得最小值的 xx 的集合.

2010 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(cos⁡α,sin⁡α)\boldsymbol{a} = (\cos \alpha, \sin \alpha)，b=(cos⁡β,sin⁡β)\boldsymbol{b} = (\cos \beta, \sin \beta)，c=(−1,0)\boldsymbol{c} = (-1, 0).
(1) 求向量 b+c\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} 的长度的最大值； (2) 设 α=π4\alpha = \frac{\pi}{4}，且 a⊥(b+c)\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})，求 cos⁡β\cos \beta 的值.

2009 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为角 AA，BB，CC 所对的边，且 3a=2csin⁡A\sqrt{3} a = 2c \sin A.
(1) 确定角 CC 的大小； (2) 若 c=7c = \sqrt{7}，且 △ABC\triangle ABC 的面积为 332\frac{3\sqrt{3}}{2}，求 a+ba + b 的值.

2009 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(t)=1−t1+tf(t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}，g(x)=cos⁡x⋅f(sin⁡x)+sin⁡x⋅f(cos⁡x)g(x) = \cos x \cdot f(\sin x) + \sin x \cdot f(\cos x)，x∈(π,17π12]x \in \left(\pi, \frac{17\pi}{12}\right].
(1) 将函数 g(x)g(x) 化简成 Asin⁡(ωx+φ)+BA\sin(\omega x + \varphi) + B（A>0A>0，ω>0\omega>0，φ∈[0,2π)\varphi\in[0,2\pi)）的形式； (2) 求函数 g(x)g(x) 的值域.

2008 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡x2cos⁡x2+cos⁡2x2−2f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - 2.
(1) 将函数 f(x)f(x) 化简成 Asin⁡(ωx+φ)+BA\sin(\omega x + \varphi) + B（A>0A > 0，ω>0\omega > 0，φ∈[0,2π)\varphi \in [0, 2\pi)）的形式，并指出 f(x)f(x) 的周期； (2) 求函数 f(x)f(x) 在 [π,17π12]\left[\pi, \frac{17\pi}{12}\right] 上的最大值和最小值.

2008 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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